这个加法和乘法是数值函数的那种正常的加法和乘法，比如f（x₁）＝a，g（x₁）＝b，那x₁这个点上f+g就是a+b，f·g就是a·b，实数的四则运算那种，没有什么特殊运算

好像是f(x)=0的点

C[a,b]上的极大理想M一定等于某个M_x:={f|f(x)=0}，其中x∈[a,b]
首先，对于C[a,b]的真理想I，其中的函数f一定有零点。否则1/f∈C，于是1=f·1/f∈I，即有I=C[a,b]与I是真理想矛盾。
M_x显然是一个真理想，并且它是一个极大理想：取f(ξ):=(ξ-x)^2∈M_x，任取g∈C[a,b]\M_x，由M_x定义有g(x)≠0，那么f+g^2没有零点，即向M_x里添加g以后生成的理想必定是全集C[a,b]，因此M_x极大。
事实上真理想I一定包含于某个M_x。若对任意x∈[a,b]都有I⊈M_x，即对任意x都存在f_x∈I使得f_x(x)≠0，此时由f连续可知，存在x的开邻域U_x使得U_x上有f_x≠0。于是全体U_x覆盖了紧集[a,b]，因而可以取得有限子覆盖U_{x_1}, ..., U_{x_n}；那么f:=f_{x_1}^2+...+f_{x_n}^2∈I恒正没有零点，与I是真理想矛盾。因此C[a,b]的真理想一定包含于某个M_x，极大理想也不例外。由此得证。

如需文献，可见 Husain 的 Topology and Maps 第十章 66 节。
这个例子跟局部环，代数几何，非交换几何都有关系。

这和泛函分析的Gelfand变换有关，那是很有趣的理论