可以先不考虑条件(1)，假设A≠N*，不在集合A中的最小的正整数是k
①若k≥6, 1~k-1 中的所有正整数都属于A
由(3)可知不存在1<a<b≤k-1使得ab=k-1 (否则a∈A, b∈A，则k=1+ab∈A )
则k-1是素数或者素数的平方，由于k-1≥5，那k-1一定是奇数，k是偶数且1<2< k/2≤k-1
由(3)可得1+ 2×k/2 = k+1∈A，又因为k-1∈A，所以1+(k+1)(k-1)= k²∈A
由(2)可得k∈A，矛盾
②若k=4或5，则1, 2, 3∈A
由(3)可得1+2×3=7∈A，1+2×7=15∈A，5是15的因数，由(2)可得5∈A
又因为1+3×5=16∈A，4整除16，则4∈A，矛盾
③若k=3，则1, 2∈A，由(2)可知3的正整数倍都不属于A
如果n≡1(mod 3)且n>1, n∈A，那1+2n∈A，但1+2n≡0(mod 3)，矛盾
如果n≡2(mod 6)且n>2, n∈A，那n/2∈A，但n/2≡1(mod 3)且n/2>1，矛盾
如果n≡5(mod 6), n∈A，那1+2n∈A，1+(1+2n)n∈A，但1+(1+2n)n≡2(mod 6)且1+(1+2n)n>2，矛盾
所以A={1, 2}
④若k=2，则1∈A，由(2)可知所有偶数都不属于A
若A中至少有两个大于1的奇数n, m, 则偶数1+nm∈A，矛盾
若奇合数n>1，n∈A，则n至少有一个大于1的真因数a∈A，a也是奇数且小于n，矛盾
所以A={1}或{1, p}，p为任意一个奇素数
⑤若k=1, 这时只可能A=φ 为空集
所以最后符合(2)(3)的A=N*, {1, p}(p为任意一个素数), {1}, φ ，其中符合条件(1)的只有A= N*