利用截距式方程，和点到直线的距离，求最值

三角换元，辅助角公式即可。

你要什么证明 几何证明还是
变成函数求最值

插眼，等个几何法，我用拉乘算了一下可以解

可以用面积关系列式子，连接PO，设P到MN的距离为d，|OM|=a, |ON|=b, |MN|=5, P(3, 4), a, b＞0
由于S△PNO + S△PMO = S△OMN + S△PMN，也就是 3b/2+ 4a/2 = ab/2 + 5d/2
所以5d = 3b+4a-ab = 12-(a-3)(b-4)
而a²+b²=|MN|²= 3²+4²，当a＞3时b<4，当a<3时b＞4，当a=3时b=4，则(a-3)(b-4)≤0
所以5d≥12, d≥12/5

我做到这里不会做了，大学毕业十几年了，突然心血来潮想做这个题目，算到这里不会了

借用lz最后一步写的

有几何解，但有点难以理解，多次取等

4b⁴-16b³-75b²+200b+400=0
(b-4)(4b³-75b-100)=0

你可以把这个问题转变成到定点距离为定值的直线什么时候被坐标轴截得长度最短

几何 求距离最小就是求三角形面积最小，也就是PMPNsin∠MPN这个式子的最小值

此题有巧解:取MN中点Q，连接OQ，无论MN怎么变化，中线OQ=5/2，OP=5，PQ≥2.5。以MON三点共圆则MN为直径此时半径2.5即PQ≥5/2，P在MON外接圆上时三角形△MPN面积最小，此时PQ=5/2。即OQP三点共线，此时形成矩形即三角形S△MPN=3*4/2=6，P到MN距离最小值即垂足6*2/5=2.4

其实，真正做题，要么和我上面一样设一个未知数（比如y轴截距b），写一次表达式，距离公式，求导等于0，求b值。4b⁴-16b³-75b²+200b+400=0
(b-4)(4b³-75b-100)=0
b=4，两个负值b，还有个b=4.885。确定b=4正解。还有一种方法，设PN=a，PM=b，两者夹角θ。三角形PMN面积=0.5︳MN︳h=0.5absinθ。︳MN︳定长 ，h要最小则只要absinθ最小即可。注意到横坐标3和纵坐标4的斜边长5，设垂足P和Q，即PQ=5，怎么确定MN重合PQ时垂距最小呢？
若MN偏移，N上移则M左移或N下移则M右移，无论哪种，都会产生两个偏角，设盈余小角为α，不足小角为β，可以得到θ=90º+α-β。
absinθ=absin（90º+α-β）=abcos（β-α）=absinαsinβ+abcosαcosβ=PN*QM+3 *4。
要h最小则需要absinθ最小，则需要PN*QM最小。很明显，P重合N、M重合Q时PN*QM=0。即0.5*5*h=0.5（PN*QM+3*4）≥0.5*（0+12），h≥2.4。