高数新手争论无果来此求解

题目如下：函数f(x)在[0,1]上有定义，且f(0)=f(1),对任何x,y属于[0,1],有|f(x)-f(y)|<=|x-y|,求证|f(x)-f(y)|<=1/2
那个……我不是来贴作业的几个同学争了一早上说是满足题目中条件的函数f(x)在1/2处会取到最值这个对么？？？求证明先行谢过orz

|f(x)-f(y)|<=|x-y| => f连续，
若|x-y|<=1/2 => |f(x)-f(y)|<=|x-y|<=1/2，
若|x-y|>1/2，不妨设y-x>1/2 => y>1/2，x<1/2，
|f(x)-f(y)|<=|f(x)-f(0)|+|f(1)-f(y)|<=|x-0|+|1-y|=x-y+1<=1/2，
最值不一定在x=1/2处取得，
比如f(x)=x/2(0<=x<=2/3),f(x)=-x+1(2/3<x<=1)

回复：2楼

表示膜拜数学帝，此题我当时没做出来

回复：2楼
连续性好像多余了

因为开始打算用中值定理的，后来发现没必要

回复：4楼
我也极纠结……和室友一同纠结出来的

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