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给想深入学习数学但是没有精力和能力都非数学系8u科普一些概念

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先来个基础的度量空间吧,以下是度量空间的概念
度量空间(X, d)是一个空间X(X中的元素被称作点)而且 X 还包含了一个距离函数或者度量d:X×X→ [lbk]0,+∞),它把X中的每对点(x,y)对应到一个非负实数d(x,y)>0上,此外,这个度量还必须满足下面四个公理:
(a) 对任意的 x ∈ X,我们有d(x, x)=0
(b) (正性)对任意两个不同的 x, y ∈ X,我们有 d(x, y) > 0
(c) (对称性)对任意的 x, y ∈ X,我们有 d(x, y) = d(y, x)
(d) (三角不等式)对任意的 x, y, z ∈ X,我们有 d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z)
楼下会解释一些东西


IP属地:河南来自Android客户端1楼2024-05-16 14:34回复
    好像出现了乱码,但问题不大,解释一下那个度量d是个啥,X×X→【0,+∞),这是一个映射,也就是两个X中的元素构成的组合(x,y)(x∈X,y∈X),d把这个组合映射在实数轴包括零点的右侧,也就是说d(x,y)是一个正的实数(或是0)


    IP属地:河南来自Android客户端2楼2024-05-16 14:37
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      2026-08-18 06:40:47
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      (a)就不用多说了,(b)是讲d(x,y)一定不是负数,概念里就有,至于(c),x与y互换位置对d(x,y)是没有影响的,三角不等式,可以粗略的利用l²度量去看(欧几里得度量)在欧几里得度量里面三角不等式等价于“三角形两边之和大于第三边”


      IP属地:河南来自Android客户端3楼2024-05-16 14:39
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        我们平时所说的距离,比如点到直线的距离巴拉巴拉都是欧几里得度量


        IP属地:河南来自Android客户端4楼2024-05-16 14:40
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          欧几里得度量的定义为d((x₁,x₂,...,xₙ),(y₁,y₂,...,yₙ))=(∑(xᵢ-yᵢ)²)^(1/2)


          IP属地:河南来自Android客户端5楼2024-05-16 14:44
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            现在有点忙,待会讲讲度量球然后讲讲开集闭集


            IP属地:河南来自Android客户端8楼2024-05-16 14:51
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              度量球
              集合X与度量d,有一个(X,d),现有一个元素x₀∈X,把X中依度量d以x₀为中心,半径为r的球称为B(x₀,r)(r为正数,0或负数都会使其变成一个空集)
              B(x₀,r)={x∈X | d(x₀,x)<r},定义非常重要的闭集开集的概念需要用到这个东西


              IP属地:河南来自Android客户端11楼2024-05-16 15:17
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                开集闭集
                设 (X, d) 是一个度量空间,P是X的一个子集,如果P包含了自身所有的边界点,那么我们称P是闭的,如果P不包含自身的任何边界点,那么称P是开的。如果P只包含了一部分边界点,而不包含其他边界点,那么P既不是开的也不是闭的
                这就是抽象的开集闭集的概念


                IP属地:河南来自Android客户端13楼2024-05-16 15:31
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                  2026-08-18 06:34:47
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                  讲了点比较基础的概念,先不讲了,本🐭要去写实验报告了捏


                  IP属地:河南来自Android客户端14楼2024-05-16 15:32
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                    紧急通知,此楼补12楼的定义
                    内点、外点和边界点
                    (X, d) 是一个度量空间,P是X的子集,并设x₀是X中的一个点,若存在半径r>0使得B(x₀,r)⊆P,那么称x₀是P的内点,若存在半径r>0使得B(x₀,r)∩P=∅,那么称x₀是P的外点,如果x₀既不是P的内点也不是P的外点,那么我们称x₀是P的边界点


                    IP属地:河南来自Android客户端17楼2024-05-16 17:22
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                      有闭集开集的定义了,来定义一下拓扑吧,吃完饭再定义


                      IP属地:河南来自Android客户端19楼2024-05-16 17:33
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                        好了,定义一下拓扑,拓扑可以从度量空间出发


                        IP属地:河南来自Android客户端22楼2024-05-16 18:30
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                          度量空间(X,d),E是它的开集族(集族就是元素是集合的集合)可以验证
                          1,Ø∈E,X∈E
                          2,如果集合P₁,P₂∈E,则P₁∩P₂∈E
                          3,如果集族{Pᵩ | φ∈A}⊆E,则∪(φ∈A) Pᵩ∈E
                          现给出拓扑空间的定义
                          给定集合X与其子集族E,若E满足上述3个性质则把E叫做X上的拓扑,若E中每个集合都是X的开集,则称(X,E)叫做拓扑空间


                          IP属地:河南来自Android客户端23楼2024-05-16 18:50
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                            本🐭懒了,准备新开个贴好好做测度的笔记了,这个关于空间的贴草草结束一下吧
                            线性空间
                            设F为一个域,E为一个集合,在E上定义两种满足封闭性的运算:一种是E中元素之间的“加法”,一种是F中元素与E中元素之间的“标量乘法”
                            若两种运算还满足以下性质,则称集合E为域F上的线性空间
                            加法交换律,加法逆运算,加法单位元,加法结合律,标量乘法单位元,标量乘法结合律,对向量加法的分配律,对标量加法的分配律


                            IP属地:河南来自Android客户端29楼2024-05-16 23:36
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                              2026-08-18 06:28:47
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                              简简单单再来个拓扑空间闭集定义
                              E是X的一个闭集族,(X,E)是一个拓扑空间,当下列公理成立
                              1,X∈E,空集∈E,都是闭集
                              2,Pᵢ∈E,任意几个Pᵢ的并仍然在E内,闭的并还是闭
                              3,Pᵢ∈E,任意几个Pᵢ的交仍然在E内,闭的交还是闭


                              IP属地:河南来自Android客户端30楼2024-05-17 07:09
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