1. 黎曼曲面上的联络
黎曼流形(Mn,g)(Mn,g)中，MM为nn维流形，而gg为正定的黎曼度量，即gij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxjgij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxj，而(gij)(gij)是对称正定的。
∇∇是联络(我们可以把它看成“方向导数”(∇X∇X为求XX方向))，它的定义域与值域为∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)，也即将两个MM上的向量场映射到MM上的向量场，即∇X(Y)∈Vect(M)∇X(Y)∈Vect(M).且满足如下三条性质：
线性性，即关于XX的f∈C∞(M)f∈C∞(M)线性，有∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)
但是注意到关于第二个值并没有C∞M)C∞M)线性，就是∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y
X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩,这表示“与度量相容”，也就是∇X(g)=0∇X(g)=0.为什么会这样呢？我们本来想象需要对Y1,Y2Y1,Y2以及g分别求“方向导数”，而只有两项留下来了，也就是对度量求“导数”会恒为0.
无挠，也就是∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y]∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y].这个定义Morgan认为他不是很明白，因为∇X(Y)∇X(Y)同样可以定义为∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E)∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E), 其中Γ(E)Γ(E)是向量丛的截面。而无挠性不能延伸到这个定义域上，因为∇Y∇Y没有意义。
满足如上三个性质的联络成为Levi-Civita联络。于是我们有如下定理：
定理：Levi-Civita联络存在唯一
（笔者按：Levi-Civita可以用2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩−Z⟨Y,X⟩+Y⟨Z,X⟩−⟨Z,[Y,X]⟩+⟨[Z,Y],X⟩−⟨Y,[X,Z]⟩2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩−Z⟨Y,X⟩+Y⟨Z,X⟩−⟨Z,[Y,X]⟩+⟨[Z,Y],X⟩−⟨Y,[X,Z]⟩来定义，满足以上条件）
由于在局部，我们可以用∂i(i=1,2⋯n)∂i(i=1,2⋯n)来张成TxM|UTxM|U,我们可以令∇∂i(∂j)=Γkij∂k∇∂i(∂j)=Γijk∂k，(从而我们通过前面知道Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij),从而惟一性成立）
2.测地线,高斯映射
˙γ(t)∈Tγ(t)Mγ˙(t)∈Tγ(t)M,其中γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))为MM上的曲线，˙γ=(˙x1(t),˙x2(t),⋯,˙xn(t))γ˙=(x˙1(t),x˙2(t),⋯,x˙n(t))为速度。曲率线方程即为∇˙γ(t)(˙γ(t))=0∇γ˙(t)(γ˙(t))=0。注意到∇∇作用在MM上的向量场上，而˙γγ˙并非向量场，所以我们需要把˙γγ˙延拓到全流形上。（笔者按：由于d2xkdt2+Γkijdxidtdxjdt=0d2xkdt2+Γijkdxidtdxjdt=0）
由于常微分方程解的存在惟一性，给定了γ(0)γ(0)以及˙γ(0)γ˙(0),我们就得到一条测地线。也就是说，我们能够构造一个从Tγ(0)M→MTγ(0)M→M的映射，也即初始向量为此向量的测地线到达的MM上的点。我们设为exp:TxM→Mexp:TxM→M,在起点的领域B(0,ϵ)B(0,ϵ)上有定义。
3.曲率
我们有了零阶的信息（度量），一阶信息（测地线、联络），那么二阶信息是什么呢？我们认为是曲率
问题如下：一个度量的几何性质是怎么样的（我们能从度量的句子(gij)(gij)中获得什么信息）
在单点上，实际上度量没有任何信息，所有的度量都是等价于标准的欧氏度量，我们可以通过坐标变换把矩阵变成对角阵，从而得到标准度量。
这样的标准性能到几阶呢？似乎我们只能最多到2阶。曲率是唯一的几何不变量。而有定理:高斯度量完全由曲率决定（也就是局部来说，黎曼曲率包含了所有信息）
我们还没有定义曲率，曲率定义如下：R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y],由于Levi-Civita联络的定义我们知道R(X,Y)f=0R(X,Y)f=0成立。
引理：曲率对于X,YX,Y关于C∞(M)C∞(M)成立，即R(fX,Y)Z=fR(X,Y)ZR(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z,它对X,YX,Y反对称。
奇迹的是，我们可以计算,对于ZZ关于C∞(M)C∞(M)成立，也就是R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)ZR(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z。所以我们可以定义4-张量，⟨R(X,Y)Z,W⟩⟨R(X,Y)Z,W⟩,对于四个变量都是线性的，从而定义Rlijk∂l=R(∂i,∂j)∂kRijkl∂l=R(∂i,∂j)∂k。
将符号降下来，可以定义Rijkl=gmkRmijk=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩Rijkl=gmkRijkm=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩.,通过前面我们知道Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)为在⋀2TM⋀2TM上的对称2-张量。
黎曼定义的曲率来源于高斯曲率的定义
也就是在曲面上一点附近的测地圆（也就是以|x|≤ϵ|x|≤ϵ为半径的TxMTxM上的向量用高斯映射映至的区域）和平面上的圆相差多少？高斯认为是
limϵ→012πϵ2−Area(B(p,ϵ))πϵ4limϵ→012πϵ2−Area(B(p,ϵ))πϵ4
定义为高斯曲率（实际上我们通常定义不是这样的，定义的等价性成为Bertrand–Diquet–Puiseux定理）
此时，⋀2TM=R⋀2TM=R,而黎曼曲率R:R→RR:R→R仅为乘上高斯曲率。
定理(Cartan)：我们有关于黎曼曲率RR对于度量exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn))exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn))（被称为高斯度量）的公式。(Do carmo第八章第2节)
也就是在指数映射exp:Rn→Mexp:Rn→M拉回,我们在Tp(M)=RnTp(M)=Rn原点附近有度量exp∗(g)=^gexp∗(g)=g^。^gg^有基于RR的公式。（^gg^ is identity up to 2-nd order,这句话没懂是什么意思）也就是度量在坐标变换，也就是同胚群作用的意义下只与黎曼曲率相关。
所以我们可以知道，如果一个度量在某个邻域内为欧氏度量当且仅当黎曼曲率为0.
最后我们给出Ricci曲率的定义：Ricijdxi⊗dxjRicijdxi⊗dxj为对称2-张量，有Ricij=gklRikljRicij=gklRiklj.
4.整体性质
局部来看，在坐标变换的意义下，度量完全被曲率所决定。但是在整体性质却不一样，一般来说度量的性质不完全由曲率决定。黎曼流形除了曲率外有更多整体不变量。比如一个范例如下：
对于紧平的曲面（黎曼曲率为0且有界），我们考虑环面(T2,g)(T2,g),(R2,g)(R2,g) 为欧氏空间,万有覆盖映射π:R2→T2π:R2→T2.由于T2T2的同伦群π1(T2)=H1(T2)⊂R2π1(T2)=H1(T2)⊂R2是格ΛΛ.从而T2≅R2/ΛT2≅R2/Λ为等距同构。
我们就来研究格，格的基为v1,v2v1,v2
用复数表示为v2=τv1,τ∈Cv2=τv1,τ∈C,我们选择定向，使得τ∈H2τ∈H2.而由于在行列式为11的整数矩阵变换下格不变，所以[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}.同时R+=area(T2)R+=area(T2)，所以我们有一族平的环面构成的3维实空间，它们都有相同的度量（平整度量）
对于更高的亏格会如何呢？对于Σg(g>1)Σg(g>1)，我们用(H2,g),g=dx2+dy2y2(H2,g),g=dx2+dy2y2进行覆盖，而H2H2在实2×22×2的矩阵下不变。所以ΣgΣg有H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)给出。这样的双曲度量形成了6g−66g−6维的空间。
但在更高维，情况就不一样了。我们可以类似地定义HnHn以及它的度量。同样具有常截曲率−1−1。而同理得到的流形Hn/ΓnHn/Γn 由于Mostow Rigidity定理，是唯一的。其中ΓnΓn为基本群。也就是说，例如在3维，固定了基本群，我们只能得到至多一个度量。
5.极限——几何极限与Gromov-Hausdorff极限
如何定义一族流形{(Mn,gn,xn∈Mn)}∞n=1{(Mn,gn,xn∈Mn)}n=1∞趋近一个极限流形(M∞,g∞,x∞)(M∞,g∞,x∞)(其中xx为基点)?我们通过一个例子进行讲述：假如Mn=M,xn=xMn=M,xn=x,只有gn=λ2ng,λ2n→∞gn=λn2g,λn2→∞,在平常我们的想象中，应该有流形趋近于它的切空间，也就是(TxM,g|x)(TxM,g|x),就像一个无限大的球面在局部来看就趋于平面一样。
我们来定义几何极限，也就是存在开区间Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯,且 ⋃nUn=M∞⋃nUn=M∞，其中UnUn满足存在嵌入φn:Un↪Mn,φn(x∞)=xnφn:Un↪Mn,φn(x∞)=xn,且φ∗n(gn)→g∞φn∗(gn)→g∞在任意的紧集上一致收敛。就如一些例子：
在基点选为红色的点，我们不断拉长拉瘪中间的柄，得到就是红色的流形，这也说明极限流形的拓扑性质会改变，亏格由3变为1。
如果点在右边那段上，则收敛到的流形亏格为2.
但如果放在中间的柄上，最后会怎么样的？我们期望它收敛到一条直线，而这显然不可能由几何收敛做到，我们就引入Gromov-Hausdorff这种“弱收敛”来解决这个问题。
以下是第二讲的内容。
首先我们回顾了黎曼曲率的定义R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩,其中R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y].而截曲率是定义在TxMTxM的二维子空间PP上，令X,YX,Y为P的基，那么截曲率定义为R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩(这样定义黎曼曲率是由于，如果定义为⟨R(X,Y)X,Y⟩⟨R(X,Y)X,Y⟩,球的黎曼曲率会变为−1−1,与历史上定义球的高斯曲率为11不符。我们将在下面的计算中看到这点。)
6.球的截曲率的计算
我们考虑球的赤道，只需要计算赤道上每一点的截曲率，由于对称性，我们就可以解出所有点的截曲率。令yy为“经度”，xx为“纬度”，且令X=∂x,Y=∂yX=∂x,Y=∂y,有⟨R(X,Y)Y,X⟩=⟨∇X∇Y(Y)−∇Y∇X(Y),X⟩⟨R(X,Y)Y,X⟩=⟨∇X∇Y(Y)−∇Y∇X(Y),X⟩
由于YY是测地线，则∇Y(Y)=0∇Y(Y)=0，我们需要计算∇X(Y)∇X(Y).而由于我们需要对YY求方向导数，即考察yy方向在水平面上的投影向量求导，为−siny∂x−siny∂x,再乘以圆的半径cosycosy,得到∇X(Y)=−cosysiny∂x∇X(Y)=−cosysiny∂x.由于我们再考虑的是在y=0y=0的值，所以不考虑∇Y(∂x)∇Y(∂x)因为前面系数为0.从而有∇Y∇X(Y)=(sin2y−cos2y)|y=0=−1∇Y∇X(Y)=(sin2y−cos2y)|y=0=−1
从而⟨R(X,Y)Y,X⟩=1⟨R(X,Y)Y,X⟩=1成立
7.度量放大后黎曼曲率与Ricci曲率的变化
接下来我们讨论是当度量放大λ2λ2倍后，即h=λ2gh=λ2g，各个曲率将会如何变化？我们计算得知黎曼曲率R(X,Y,Z,W)R(X,Y,Z,W)放大了λ2λ2倍，而Ricci曲率Ric(X,Z)Ric(X,Z)与原来相等。这是注意到前面提过的
∇∂i(∂j)=Γkij∂k∇∂i(∂j)=Γijk∂k，且Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)成立，也就是说，由于gijgij变为原来的λ2λ2倍，而glkglk变为原来的λ−2λ−2倍，也就是ΓΓ没有变化。那么∇X(Y)∇X(Y)也没有变化。但是由于内积⟨,⟩⟨,⟩变为原来的λ2λ2倍，就是R(X,Y,Z,W)R(X,Y,Z,W)变为原来的λ2λ2倍。
但是我们会观察到，当球面增大的时候，它的高斯曲率反而变小了，这是因为向量的“减小”导致的。由于在新的度量下，原来的单位向量X,YX,Y必须变为新的单位向量λ−1X,λ−1Yλ−1X,λ−1Y.对于截曲率我们就有sech(P)=Rh(λ−1X,λ−1Y,λ−1X,λ−1Y)=λ−2Rg(X,Y,X,Y)=secg(P)sech(P)=Rh(λ−1X,λ−1Y,λ−1X,λ−1Y)=λ−2Rg(X,Y,X,Y)=secg(P)
而且对于Ricci曲率，我们计算得到Rich(X,Z)=∑Yi basisRh(X,Yi,Z,Yi)=∑Yi basisλ2Rg(X,λ−1Yi,Z,λ−1Yi)Rich(X,Z)=∑Yi basisRh(X,Yi,Z,Yi)=∑Yi basisλ2Rg(X,λ−1Yi,Z,λ−1Yi)
是由于YiYi是正交向量场，在原坐标下是λ−1Yiλ−1Yi才是正交向量场，也就是Ricci曲率没有变化。
8.Bishop-Gromov不等式
我们同时给出黎曼曲面内著名的比较定理：Bishop-Gromov不等式
M为nn维完备流形，且Ricci曲率满足Ric≥(n−1)kRic≥(n−1)k,那么对于HnkHkn,也就是常截曲率kk(换言之，常Ricci曲率(n−1)k(n−1)k)的nn维流形。（k<0k<0双曲空间，k=0k=0欧氏空间，k>0k>0球面），那么对于∀x∈M,∀x0∈Hnk∀x∈M,∀x0∈Hkn,有函数f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))是关于RR非增的函数。其中
这个定理在全局的意义下也成立，是由于M在R增大的时候B会倒塌。
9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解
Ricci流的定义如下：在MM上的度量g(t)g(t)满足∂g(t)∂t=−2Ric(g(t))∂g(t)∂t=−2Ric(g(t))
是弱双曲方程。它在短时间内是存在唯一的。具体刻画是：
存在性：给定MnMn为紧的，度量g0g0,则∃ϵ>0,∃ϵ>0,存在光滑的g(t)(0≤t≤ϵ)g(t)(0≤t≤ϵ) ,满足g(0)=g0g(0)=g0且满足该方程。
惟一性：对于g(t),h(t)g(t),h(t)为解，且g(0)=h(0)g(0)=h(0),那么在共同的定义域上g=hg=h。
对于某些特殊流形我们可以研究Ricci流的显式解。比如Einstein流形，也就是(M,g)(M,g)为流形，且满足Ric(g0)=λg0Ric(g0)=λg0,其中λλ为常数。
那么该Ricci流的解为g(t)=(1−2λt)g0g(t)=(1−2λt)g0。因为∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t))∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t)),最后一个等号成立是由于g(t)g(t)是g0g0的倍数，利用前面的放大性质得到。
所以当λ>0λ>0,在t=1/2λt=1/2λ的时候为奇点，由于流形退化了。比如一个球会退化到一个点上，这种现象对于λ>0λ>0的黎曼流形都成立。
当λ<0λ<0,g(t)g(t)对与所有tt成立。考虑g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0是一个有限的极限。这个极限也是Perelman用来在3维的Ricci流中寻找无穷远的双曲部分使用的方法。他考虑的是在体积不倒塌的区域上，取缩小为1/t1/t,那么这个区域与其度量收敛到双曲3维流形。
其他可以计算Ricci流的方程为积流形，也就是两个流形的笛卡尔积。例如S2×RS2×R,有度量gs2+dt2gs2+dt2,在t→∞t→∞时候，原来的流形缩至一条直线。除了这些流形以为，我们没法给出更多整体的Ricci流的性质
10.怎么研究Ricci流？
怎么研究Ricci流？我们有三种方法可以使用：
直接计算方程，正是我们前面使用的
极大值原理——在一定范围内控制数量曲率
Bishop-Gromov不等式的双曲形式
第一个方法，我们使用对于体积的估计，我们知道，体积的定义是
vol(U)=∫U(det(g))1/2d→x,U⊂ coordinate patchvol(U)=∫U(det(g))1/2dx→,U⊂ coordinate patch
那么如果∂g(t)∂t=−2Ric(t)∂g(t)∂t=−2Ric(t),则ddtvol(U)=∫U−Rdvolddtvol(U)=∫U−Rdvol,其中RR为数量曲率。这是由于ddtvol(U)=∫U12(det(g))−1/2∂∂tdet(g)=∫U12(det(g))−1/2det(tr(∂∂tg))=∫12(det(g))−1/2tr(−2Ric)=−∫tr(Ric)dvol=−∫Rdvolddtvol(U)=∫U12(det(g))−1/2∂∂tdet(g)=∫U12(det(g))−1/2det(tr(∂∂tg))=∫12(det(g))−1/2tr(−2Ric)=−∫tr(Ric)dvol=−∫Rdvol
所以这也表明了，正的数量曲率代表这体积在变小，负的数量曲率体积变大
第二个方法，就是∂R∂t=ΔR+2nR2+2|Ric0|2∂R∂t=ΔR+2nR2+2|Ric0|2
其中Ric0=Ric−RngRic0=Ric−Rng为迹0的Ricci曲率（也就是正交分解）。
所以对于Rmin(t)=minx∈M(R(x,t))Rmin(t)=minx∈M(R(x,t)),我们有dRmin(t)dt≥2nR2min(t)dRmin(t)dt≥2nRmin2(t)成立，是由于其他两项都大于等于0.而同理可得对于固定的y,dR(y,t)dt≥2nR2(y,t)dR(y,t)dt≥2nR2(y,t).通过这里我们有两个推论。
1.Rmin(t)Rmin(t)单调递增
2.若Rmin(0)>0Rmin(0)>0，那么在有限时间内会爆破，也就是RminRmin达到无穷。而若Rmin(0)<0Rmin(0)<0
则Rmin(t)≥−n|Rmin(0)|2|Rmin(0)|t+nRmin(t)≥−n|Rmin(0)|2|Rmin(0)|t+n
也即它的渐进下界为−n/(2t)−n/(2t).
黎曼流形(Mn,g)(Mn,g)中，MM为nn维流形，而gg为正定的黎曼度量，即gij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxjgij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxj，而(gij)(gij)是对称正定的。
∇∇是联络(我们可以把它看成“方向导数”(∇X∇X为求XX方向))，它的定义域与值域为∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)，也即将两个MM上的向量场映射到MM上的向量场，即∇X(Y)∈Vect(M)∇X(Y)∈Vect(M).且满足如下三条性质：
线性性，即关于XX的f∈C∞(M)f∈C∞(M)线性，有∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)
但是注意到关于第二个值并没有C∞M)C∞M)线性，就是∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y
X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩,这表示“与度量相容”，也就是∇X(g)=0∇X(g)=0.为什么会这样呢？我们本来想象需要对Y1,Y2Y1,Y2以及g分别求“方向导数”，而只有两项留下来了，也就是对度量求“导数”会恒为0.
无挠，也就是∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y]∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y].这个定义Morgan认为他不是很明白，因为∇X(Y)∇X(Y)同样可以定义为∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E)∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E), 其中Γ(E)Γ(E)是向量丛的截面。而无挠性不能延伸到这个定义域上，因为∇Y∇Y没有意义。
满足如上三个性质的联络成为Levi-Civita联络。于是我们有如下定理：
定理：Levi-Civita联络存在唯一
（笔者按：Levi-Civita可以用2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩−Z⟨Y,X⟩+Y⟨Z,X⟩−⟨Z,[Y,X]⟩+⟨[Z,Y],X⟩−⟨Y,[X,Z]⟩2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩−Z⟨Y,X⟩+Y⟨Z,X⟩−⟨Z,[Y,X]⟩+⟨[Z,Y],X⟩−⟨Y,[X,Z]⟩来定义，满足以上条件）
由于在局部，我们可以用∂i(i=1,2⋯n)∂i(i=1,2⋯n)来张成TxM|UTxM|U,我们可以令∇∂i(∂j)=Γkij∂k∇∂i(∂j)=Γijk∂k，(从而我们通过前面知道Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij),从而惟一性成立）
2.测地线,高斯映射
˙γ(t)∈Tγ(t)Mγ˙(t)∈Tγ(t)M,其中γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))为MM上的曲线，˙γ=(˙x1(t),˙x2(t),⋯,˙xn(t))γ˙=(x˙1(t),x˙2(t),⋯,x˙n(t))为速度。曲率线方程即为∇˙γ(t)(˙γ(t))=0∇γ˙(t)(γ˙(t))=0。注意到∇∇作用在MM上的向量场上，而˙γγ˙并非向量场，所以我们需要把˙γγ˙延拓到全流形上。（笔者按：由于d2xkdt2+Γkijdxidtdxjdt=0d2xkdt2+Γijkdxidtdxjdt=0）
由于常微分方程解的存在惟一性，给定了γ(0)γ(0)以及˙γ(0)γ˙(0),我们就得到一条测地线。也就是说，我们能够构造一个从Tγ(0)M→MTγ(0)M→M的映射，也即初始向量为此向量的测地线到达的MM上的点。我们设为exp:TxM→Mexp:TxM→M,在起点的领域B(0,ϵ)B(0,ϵ)上有定义。
3.曲率
我们有了零阶的信息（度量），一阶信息（测地线、联络），那么二阶信息是什么呢？我们认为是曲率
问题如下：一个度量的几何性质是怎么样的（我们能从度量的句子(gij)(gij)中获得什么信息）
在单点上，实际上度量没有任何信息，所有的度量都是等价于标准的欧氏度量，我们可以通过坐标变换把矩阵变成对角阵，从而得到标准度量。
这样的标准性能到几阶呢？似乎我们只能最多到2阶。曲率是唯一的几何不变量。而有定理:高斯度量完全由曲率决定（也就是局部来说，黎曼曲率包含了所有信息）
我们还没有定义曲率，曲率定义如下：R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y],由于Levi-Civita联络的定义我们知道R(X,Y)f=0R(X,Y)f=0成立。
引理：曲率对于X,YX,Y关于C∞(M)C∞(M)成立，即R(fX,Y)Z=fR(X,Y)ZR(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z,它对X,YX,Y反对称。
奇迹的是，我们可以计算,对于ZZ关于C∞(M)C∞(M)成立，也就是R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)ZR(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z。所以我们可以定义4-张量，⟨R(X,Y)Z,W⟩⟨R(X,Y)Z,W⟩,对于四个变量都是线性的，从而定义Rlijk∂l=R(∂i,∂j)∂kRijkl∂l=R(∂i,∂j)∂k。
将符号降下来，可以定义Rijkl=gmkRmijk=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩Rijkl=gmkRijkm=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩.,通过前面我们知道Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)为在⋀2TM⋀2TM上的对称2-张量。
黎曼定义的曲率来源于高斯曲率的定义
也就是在曲面上一点附近的测地圆（也就是以|x|≤ϵ|x|≤ϵ为半径的TxMTxM上的向量用高斯映射映至的区域）和平面上的圆相差多少？高斯认为是
limϵ→012πϵ2−Area(B(p,ϵ))πϵ4limϵ→012πϵ2−Area(B(p,ϵ))πϵ4
定义为高斯曲率（实际上我们通常定义不是这样的，定义的等价性成为Bertrand–Diquet–Puiseux定理）
此时，⋀2TM=R⋀2TM=R,而黎曼曲率R:R→RR:R→R仅为乘上高斯曲率。
定理(Cartan)：我们有关于黎曼曲率RR对于度量exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn))exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn))（被称为高斯度量）的公式。(Do carmo第八章第2节)
也就是在指数映射exp:Rn→Mexp:Rn→M拉回,我们在Tp(M)=RnTp(M)=Rn原点附近有度量exp∗(g)=^gexp∗(g)=g^。^gg^有基于RR的公式。（^gg^ is identity up to 2-nd order,这句话没懂是什么意思）也就是度量在坐标变换，也就是同胚群作用的意义下只与黎曼曲率相关。
所以我们可以知道，如果一个度量在某个邻域内为欧氏度量当且仅当黎曼曲率为0.
最后我们给出Ricci曲率的定义：Ricijdxi⊗dxjRicijdxi⊗dxj为对称2-张量，有Ricij=gklRikljRicij=gklRiklj.
4.整体性质
局部来看，在坐标变换的意义下，度量完全被曲率所决定。但是在整体性质却不一样，一般来说度量的性质不完全由曲率决定。黎曼流形除了曲率外有更多整体不变量。比如一个范例如下：
对于紧平的曲面（黎曼曲率为0且有界），我们考虑环面(T2,g)(T2,g),(R2,g)(R2,g) 为欧氏空间,万有覆盖映射π:R2→T2π:R2→T2.由于T2T2的同伦群π1(T2)=H1(T2)⊂R2π1(T2)=H1(T2)⊂R2是格ΛΛ.从而T2≅R2/ΛT2≅R2/Λ为等距同构。
我们就来研究格，格的基为v1,v2v1,v2
用复数表示为v2=τv1,τ∈Cv2=τv1,τ∈C,我们选择定向，使得τ∈H2τ∈H2.而由于在行列式为11的整数矩阵变换下格不变，所以[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}.同时R+=area(T2)R+=area(T2)，所以我们有一族平的环面构成的3维实空间，它们都有相同的度量（平整度量）
对于更高的亏格会如何呢？对于Σg(g>1)Σg(g>1)，我们用(H2,g),g=dx2+dy2y2(H2,g),g=dx2+dy2y2进行覆盖，而H2H2在实2×22×2的矩阵下不变。所以ΣgΣg有H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)给出。这样的双曲度量形成了6g−66g−6维的空间。
但在更高维，情况就不一样了。我们可以类似地定义HnHn以及它的度量。同样具有常截曲率−1−1。而同理得到的流形Hn/ΓnHn/Γn 由于Mostow Rigidity定理，是唯一的。其中ΓnΓn为基本群。也就是说，例如在3维，固定了基本群，我们只能得到至多一个度量。
5.极限——几何极限与Gromov-Hausdorff极限
如何定义一族流形{(Mn,gn,xn∈Mn)}∞n=1{(Mn,gn,xn∈Mn)}n=1∞趋近一个极限流形(M∞,g∞,x∞)(M∞,g∞,x∞)(其中xx为基点)?我们通过一个例子进行讲述：假如Mn=M,xn=xMn=M,xn=x,只有gn=λ2ng,λ2n→∞gn=λn2g,λn2→∞,在平常我们的想象中，应该有流形趋近于它的切空间，也就是(TxM,g|x)(TxM,g|x),就像一个无限大的球面在局部来看就趋于平面一样。
我们来定义几何极限，也就是存在开区间Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯,且 ⋃nUn=M∞⋃nUn=M∞，其中UnUn满足存在嵌入φn:Un↪Mn,φn(x∞)=xnφn:Un↪Mn,φn(x∞)=xn,且φ∗n(gn)→g∞φn∗(gn)→g∞在任意的紧集上一致收敛。就如一些例子：
在基点选为红色的点，我们不断拉长拉瘪中间的柄，得到就是红色的流形，这也说明极限流形的拓扑性质会改变，亏格由3变为1。
如果点在右边那段上，则收敛到的流形亏格为2.
但如果放在中间的柄上，最后会怎么样的？我们期望它收敛到一条直线，而这显然不可能由几何收敛做到，我们就引入Gromov-Hausdorff这种“弱收敛”来解决这个问题。
以下是第二讲的内容。
首先我们回顾了黎曼曲率的定义R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩,其中R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y].而截曲率是定义在TxMTxM的二维子空间PP上，令X,YX,Y为P的基，那么截曲率定义为R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩(这样定义黎曼曲率是由于，如果定义为⟨R(X,Y)X,Y⟩⟨R(X,Y)X,Y⟩,球的黎曼曲率会变为−1−1,与历史上定义球的高斯曲率为11不符。我们将在下面的计算中看到这点。)
6.球的截曲率的计算
我们考虑球的赤道，只需要计算赤道上每一点的截曲率，由于对称性，我们就可以解出所有点的截曲率。令yy为“经度”，xx为“纬度”，且令X=∂x,Y=∂yX=∂x,Y=∂y,有⟨R(X,Y)Y,X⟩=⟨∇X∇Y(Y)−∇Y∇X(Y),X⟩⟨R(X,Y)Y,X⟩=⟨∇X∇Y(Y)−∇Y∇X(Y),X⟩
由于YY是测地线，则∇Y(Y)=0∇Y(Y)=0，我们需要计算∇X(Y)∇X(Y).而由于我们需要对YY求方向导数，即考察yy方向在水平面上的投影向量求导，为−siny∂x−siny∂x,再乘以圆的半径cosycosy,得到∇X(Y)=−cosysiny∂x∇X(Y)=−cosysiny∂x.由于我们再考虑的是在y=0y=0的值，所以不考虑∇Y(∂x)∇Y(∂x)因为前面系数为0.从而有∇Y∇X(Y)=(sin2y−cos2y)|y=0=−1∇Y∇X(Y)=(sin2y−cos2y)|y=0=−1
从而⟨R(X,Y)Y,X⟩=1⟨R(X,Y)Y,X⟩=1成立
7.度量放大后黎曼曲率与Ricci曲率的变化
接下来我们讨论是当度量放大λ2λ2倍后，即h=λ2gh=λ2g，各个曲率将会如何变化？我们计算得知黎曼曲率R(X,Y,Z,W)R(X,Y,Z,W)放大了λ2λ2倍，而Ricci曲率Ric(X,Z)Ric(X,Z)与原来相等。这是注意到前面提过的
∇∂i(∂j)=Γkij∂k∇∂i(∂j)=Γijk∂k，且Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)成立，也就是说，由于gijgij变为原来的λ2λ2倍，而glkglk变为原来的λ−2λ−2倍，也就是ΓΓ没有变化。那么∇X(Y)∇X(Y)也没有变化。但是由于内积⟨,⟩⟨,⟩变为原来的λ2λ2倍，就是R(X,Y,Z,W)R(X,Y,Z,W)变为原来的λ2λ2倍。
但是我们会观察到，当球面增大的时候，它的高斯曲率反而变小了，这是因为向量的“减小”导致的。由于在新的度量下，原来的单位向量X,YX,Y必须变为新的单位向量λ−1X,λ−1Yλ−1X,λ−1Y.对于截曲率我们就有sech(P)=Rh(λ−1X,λ−1Y,λ−1X,λ−1Y)=λ−2Rg(X,Y,X,Y)=secg(P)sech(P)=Rh(λ−1X,λ−1Y,λ−1X,λ−1Y)=λ−2Rg(X,Y,X,Y)=secg(P)
而且对于Ricci曲率，我们计算得到Rich(X,Z)=∑Yi basisRh(X,Yi,Z,Yi)=∑Yi basisλ2Rg(X,λ−1Yi,Z,λ−1Yi)Rich(X,Z)=∑Yi basisRh(X,Yi,Z,Yi)=∑Yi basisλ2Rg(X,λ−1Yi,Z,λ−1Yi)
是由于YiYi是正交向量场，在原坐标下是λ−1Yiλ−1Yi才是正交向量场，也就是Ricci曲率没有变化。
8.Bishop-Gromov不等式
我们同时给出黎曼曲面内著名的比较定理：Bishop-Gromov不等式
M为nn维完备流形，且Ricci曲率满足Ric≥(n−1)kRic≥(n−1)k,那么对于HnkHkn,也就是常截曲率kk(换言之，常Ricci曲率(n−1)k(n−1)k)的nn维流形。（k<0k<0双曲空间，k=0k=0欧氏空间，k>0k>0球面），那么对于∀x∈M,∀x0∈Hnk∀x∈M,∀x0∈Hkn,有函数f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))是关于RR非增的函数。其中
这个定理在全局的意义下也成立，是由于M在R增大的时候B会倒塌。
9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解
Ricci流的定义如下：在MM上的度量g(t)g(t)满足∂g(t)∂t=−2Ric(g(t))∂g(t)∂t=−2Ric(g(t))
是弱双曲方程。它在短时间内是存在唯一的。具体刻画是：
存在性：给定MnMn为紧的，度量g0g0,则∃ϵ>0,∃ϵ>0,存在光滑的g(t)(0≤t≤ϵ)g(t)(0≤t≤ϵ) ,满足g(0)=g0g(0)=g0且满足该方程。
惟一性：对于g(t),h(t)g(t),h(t)为解，且g(0)=h(0)g(0)=h(0),那么在共同的定义域上g=hg=h。
对于某些特殊流形我们可以研究Ricci流的显式解。比如Einstein流形，也就是(M,g)(M,g)为流形，且满足Ric(g0)=λg0Ric(g0)=λg0,其中λλ为常数。
那么该Ricci流的解为g(t)=(1−2λt)g0g(t)=(1−2λt)g0。因为∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t))∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t)),最后一个等号成立是由于g(t)g(t)是g0g0的倍数，利用前面的放大性质得到。
所以当λ>0λ>0,在t=1/2λt=1/2λ的时候为奇点，由于流形退化了。比如一个球会退化到一个点上，这种现象对于λ>0λ>0的黎曼流形都成立。
当λ<0λ<0,g(t)g(t)对与所有tt成立。考虑g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0是一个有限的极限。这个极限也是Perelman用来在3维的Ricci流中寻找无穷远的双曲部分使用的方法。他考虑的是在体积不倒塌的区域上，取缩小为1/t1/t,那么这个区域与其度量收敛到双曲3维流形。
其他可以计算Ricci流的方程为积流形，也就是两个流形的笛卡尔积。例如S2×RS2×R,有度量gs2+dt2gs2+dt2,在t→∞t→∞时候，原来的流形缩至一条直线。除了这些流形以为，我们没法给出更多整体的Ricci流的性质
10.怎么研究Ricci流？
怎么研究Ricci流？我们有三种方法可以使用：
直接计算方程，正是我们前面使用的
极大值原理——在一定范围内控制数量曲率
Bishop-Gromov不等式的双曲形式
第一个方法，我们使用对于体积的估计，我们知道，体积的定义是
vol(U)=∫U(det(g))1/2d→x,U⊂ coordinate patchvol(U)=∫U(det(g))1/2dx→,U⊂ coordinate patch
那么如果∂g(t)∂t=−2Ric(t)∂g(t)∂t=−2Ric(t),则ddtvol(U)=∫U−Rdvolddtvol(U)=∫U−Rdvol,其中RR为数量曲率。这是由于ddtvol(U)=∫U12(det(g))−1/2∂∂tdet(g)=∫U12(det(g))−1/2det(tr(∂∂tg))=∫12(det(g))−1/2tr(−2Ric)=−∫tr(Ric)dvol=−∫Rdvolddtvol(U)=∫U12(det(g))−1/2∂∂tdet(g)=∫U12(det(g))−1/2det(tr(∂∂tg))=∫12(det(g))−1/2tr(−2Ric)=−∫tr(Ric)dvol=−∫Rdvol
所以这也表明了，正的数量曲率代表这体积在变小，负的数量曲率体积变大
第二个方法，就是∂R∂t=ΔR+2nR2+2|Ric0|2∂R∂t=ΔR+2nR2+2|Ric0|2
其中Ric0=Ric−RngRic0=Ric−Rng为迹0的Ricci曲率（也就是正交分解）。
所以对于Rmin(t)=minx∈M(R(x,t))Rmin(t)=minx∈M(R(x,t)),我们有dRmin(t)dt≥2nR2min(t)dRmin(t)dt≥2nRmin2(t)成立，是由于其他两项都大于等于0.而同理可得对于固定的y,dR(y,t)dt≥2nR2(y,t)dR(y,t)dt≥2nR2(y,t).通过这里我们有两个推论。
1.Rmin(t)Rmin(t)单调递增
2.若Rmin(0)>0Rmin(0)>0，那么在有限时间内会爆破，也就是RminRmin达到无穷。而若Rmin(0)<0Rmin(0)<0
则Rmin(t)≥−n|Rmin(0)|2|Rmin(0)|t+nRmin(t)≥−n|Rmin(0)|2|Rmin(0)|t+n
也即它的渐进下界为−n/(2t)−n/(2t).
我是滑稽
