要解决这个极限问题,我们可以使用洛必达法则(L'Hôpital's Rule)。首先,我们对被积函数进行微分,然后再进行求极限:
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\int_0^x \arctan t , dt}}{{x \ln x}}
]
首先对分子和分母求导:
分子的导数为:
[
\frac{d}{dx} \left( \int_0^x \arctan t , dt \right) = \arctan x
]
分母的导数为:
[
\frac{d}{dx} (x \ln x) = \frac{1}{x} + \ln x
]
现在,我们将得到的导数代入原极限式中:
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\arctan x}}{{\frac{1}{x} + \ln x}}
]
当 (x) 趋近于 0 时,分母中 (\ln x) 的部分趋于负无穷,而分子和 (\frac{1}{x}) 都趋于正无穷,因此可以应用洛必达法则再次求导:
对分子和分母再次求导得:
[
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \quad \text{和} \quad \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}
]
现在再次代入极限式中:
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\frac{1}{{1+x^2}}}}{{-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}}}
]
再次应用洛必达法则,得到:
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{-\frac{2x}{{(1+x^2)^2}}}}{{\frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2}}}
]
代入 (x = 0) 后得到极限为 0。
所以原极限为 0。
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\int_0^x \arctan t , dt}}{{x \ln x}}
]
首先对分子和分母求导:
分子的导数为:
[
\frac{d}{dx} \left( \int_0^x \arctan t , dt \right) = \arctan x
]
分母的导数为:
[
\frac{d}{dx} (x \ln x) = \frac{1}{x} + \ln x
]
现在,我们将得到的导数代入原极限式中:
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\arctan x}}{{\frac{1}{x} + \ln x}}
]
当 (x) 趋近于 0 时,分母中 (\ln x) 的部分趋于负无穷,而分子和 (\frac{1}{x}) 都趋于正无穷,因此可以应用洛必达法则再次求导:
对分子和分母再次求导得:
[
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \quad \text{和} \quad \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}
]
现在再次代入极限式中:
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\frac{1}{{1+x^2}}}}{{-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}}}
]
再次应用洛必达法则,得到:
[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{-\frac{2x}{{(1+x^2)^2}}}}{{\frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2}}}
]
代入 (x = 0) 后得到极限为 0。
所以原极限为 0。



