纯几何吧 关注：18,262贴子：97,549
- 6回复贴，共1页
不感兴趣
开通SVIP免广告
设ABC, BPC,CPA,APB的外心分别为O,O1,O2,O3，我们证明：存在以R为中心的反演+反射(伊朗式反演)使得O→P, A→O1, B→O2, C→O3，只要证明ARP顺相似于ORO1
先证∠RAP = ∠ROO1，因为OO1⊥BC，考虑关于BAC的等角线方向，得 (AP,OO1) = (AO,AQ), 结合反演得 (AP,OO1) = (AO,AQ) = (AR, OR)，(有向角)，所以∠RAP = ∠ROO1.
再证AR/AP = RO/OO1，只要AQ/AP = AO/OO1，设圆BPC交AC于点E，则AQB相似于APE，BAE相似于BOO1，所以AQ/AP = AB/AE= BO/OO1 = AO/OO1. 所以 AR/AP = RO/OO1.
如果只要证明原题，即R,P,O_P共线：注意到O, O_P分别为圆ABC和圆O1O2O3的圆心，这两者在反演+反射下互为像，所以O_P, O的像, R共线，即O_P,P,R共线. 原题得证
_____
下面证明2楼的结论，设Q关于BC,CA,AB的反射点分别为Q1,Q2,Q3，则Q1Q2Q3QP与O1O2O3OO_P位似，位似中心为R，所以RQ1O1共线，且PQ平行于OO_P，有
(O1R*O1Q1)/(OQ*OR) = (O1R/OR)^2 = (PO1/AO)^2，所以O1R*O1Q1 = O1P^2，即Q1,R关于圆BPC互为反演点，所以∠O_PO1P = ∠Q1PO1 = ∠O1RO_P，所以P,R关于圆O1O2O3互为反演点.
先证∠RAP = ∠ROO1，因为OO1⊥BC，考虑关于BAC的等角线方向，得 (AP,OO1) = (AO,AQ), 结合反演得 (AP,OO1) = (AO,AQ) = (AR, OR)，(有向角)，所以∠RAP = ∠ROO1.
再证AR/AP = RO/OO1，只要AQ/AP = AO/OO1，设圆BPC交AC于点E，则AQB相似于APE，BAE相似于BOO1，所以AQ/AP = AB/AE= BO/OO1 = AO/OO1. 所以 AR/AP = RO/OO1.
如果只要证明原题，即R,P,O_P共线：注意到O, O_P分别为圆ABC和圆O1O2O3的圆心，这两者在反演+反射下互为像，所以O_P, O的像, R共线，即O_P,P,R共线. 原题得证
_____
下面证明2楼的结论，设Q关于BC,CA,AB的反射点分别为Q1,Q2,Q3，则Q1Q2Q3QP与O1O2O3OO_P位似，位似中心为R，所以RQ1O1共线，且PQ平行于OO_P，有
(O1R*O1Q1)/(OQ*OR) = (O1R/OR)^2 = (PO1/AO)^2，所以O1R*O1Q1 = O1P^2，即Q1,R关于圆BPC互为反演点，所以∠O_PO1P = ∠Q1PO1 = ∠O1RO_P，所以P,R关于圆O1O2O3互为反演点.
