J_K是R_F在K内的整闭包，合着就是R_K，跟没说一样。3的hint里β^m-1是prime好证，不知道怎么根据最后一句构造α。

👴会了，简要写一下过程。yysy，还挺简单的，可能是这两天脑子昏昏沉沉的犯困所以没写出来。

第三题，用二项式展开β^m，然后算其中的项mγ^{m-1}π的order。由于F(γ)作为最大不分歧扩大的ramification degree是f，所以F(γ)的residue class field有q^f个元。因此mγ^{m-1}π的order就是π的order。展开式里其余的项的order都大于π的，所以β^m-1的order和π的一致，因此是prime。

然后因为F(γ)的residue class field是由γ的等价类在F的residue class field上生成的，而β与γ在K的residue class field上一致，并且由于F(γ)是最大不分歧扩大，F(γ)和K的residue class field一致。故而β在F的residue class field上生成K的。所以在hint中最后一个对R_K的表达式里，令α_i为β^i并且令π为β^m-1即可。

第四个更简单。注意到hint里头那个大并集实际上是F的乘法群的子群，并且其index为n。另一方面，由题目给的那个定理知道K的乘法群的norm的index也是n，所以他俩取等。然后用赋值的扩张的那个显式表达往他俩上套就证毕了。