速速泰勒

首先，在你第二行那里的tanx-x是可以直接用泰勒展开处理掉的。考纲没泰勒的话属实想问问是啥考纲，感觉不可能的，不仅求极限需要泰勒，后面微分中值定理的证明题同样需要用泰勒，不学是不太可能的。做极限的话只要把几个常见函数的泰勒展开式背一下就行了
如果你实在不想泰勒的话，你最后一行那一步也可以做的，因为有这么一个等价代换：1-cosᵃx～(a/2)cosx，具体推导的话就是把cosᵃx取指数，变成e^(alncosx)，然后用eˣ-1～x这个去代换就完了。这样分母就是x²，分子就是3x²，就能处理了。当然你这个分母cosx是2次的，你完全可以用平方差就处理了，都没必要知道这个等价无穷小