一。实数的稠密性
二。戴德金分割

①1=1/3×3=0.333……×3=0.999……（最简洁的证明方法）
②1/9=0.111……。。。2/9=0.222……。。。3/9=0.333……。。。4/9=0.444……。。。以此类推9/9=0.999……=1
③0.999……=0.9+0.09+0.009+0.0009+……=(0.9×10-0)/(10-1)（等比数列求和公式）=1
④把实数映射到数轴上，发现0.999……和1所对应的点重合，因为0.999……和1的点之间没有任何其他点，说明这两个数之间没有任何其他数，区间（0.999……，1）是空集，说明它们相等。

0.9无限循环和1相等的证明已知：0.9循环=0.99999999...根据等式的性质，等式两边同时加上0.00000001，依然成立：0.9循环+0.00000001=1即：0.99999999...+0.00000001=1所以：0.9无限循环=1

给两个理解方式
1、如果两个实数不相等，那么比如能找到一个实数介于两者之间，然而你不能找到一个实数介于0.9循环和1之间，所以它们相等
2、如果0.9循环和1不相等，那么1-0.9循环≠0，所以1/(1-0.9循环)有意义，请问，这个结果是多少呢？你不会回答无穷大吧？

你这段话里就一堆错误 大二没救了