求助关于第二型曲面积分利用高斯公式求解的一些疑问

此题加一个条件是，，曲面是椭球面上侧

法1是答案给的先带入然后投影的直接做法

法2是我用高斯公式来做的，我的想法是带入后，P,Q=0,而R=|y|,那么我用高斯公式，分别求偏导，则三个偏导加起来为0，然后我补一个x²+y²=4，z=0这个面，方向向z轴下方，这样计算

但是我发现，如果只带入z=0和把z=0和x²+y²=4都带入，结果却不一样

所以我现在产生了三个疑问。

疑问1是，我们所说的P,Q，R偏导数存在，是他们三个对于x,y,z的偏导数都存在吗，还是说P对x偏导，Q对y ,R对z存在即可。 我个人现在感觉前者是正确的

疑问2是，即使高斯公式此处有问题，那么我带入自己的补面方程，z=0，或者同时带入z=0和x²+y²=4，按理说求得的二型面积分结果应该一样才对。

疑问3是，使用高斯公式时，应该是可以先带入已知方程然后在求偏导的，比如下面这个题

但是我又想到一个问题，比如我这样做，求的偏导结果不是就不一样了吗？

有没有哪位大佬能够解答一下我的疑问

疑问2跟疑问3可以一起解释。先说疑问3。你可以在使用高斯公式之前直接代入曲面方程，你也可以选择不代入。如果代入，那么被积函数的形式就会发生变化。对比原来不代入直接求偏导，你会发现先代入后求出的偏导不一样，这是正常的。不要觉得求出偏导不一样就错了，其实只要你坚持算下去且算的正确的话，你会发现最终它们两个会殊途同归，最后算出的答案一定是一样的
但是有一点，代入是在一开始就决定的，因为开始的时候是第二类曲面积分，可以代入曲面方程。但当你用了高斯公式后就不能再代入了，因为用了高斯公式后转化成了三重积分，而三重积分是不能代入的。你的疑问2就是因为出了这样的问题。如果你一开始不代入，那么R就是√(4-x²-4z²)，此时∂R/∂z就不是0，用高斯公式求的闭曲面I Σ+z也不会是0。只有一开始就代入，则R=|y|，此时∂R/∂z=0，利用高斯公式后才有I=I(z=0向上)。因为你一开始就代入了，被积函数早已变成了|y|而不是√(4-x²-4z²)，所以根本就不存在代入z=0还是两个都代入的问题