关于无穷个无穷小相乘的问题

前几天有人在吧里问无穷小个无穷小相乘是否为无穷小，我当时直接给了肯定，但后来查询了一些资料，发现并不一定如此，比如下面这个例子

两种方法算出了两个不同的答案，前一种就是明显的无穷个无穷小相乘，而第二种则是改变了计算顺序，两种结果得出了不同的答案，而一些教材上就是以第二种方法的例得出了无穷个无穷小相乘不一定是无穷小的结论
但在写这个帖子的时候我就发现了不对劲，当时看文字还没觉得什么，我自己总结归纳成数学式子后就发现了问题，方法一是先固定n，令m趋向于无穷，因而必然会出现m>n，所以得出了无穷小；而方法二是先固定m，令n趋向于无穷，因而出现n<m的情况，所有无穷小都被m=n那一项抵销了。
我个人觉得两种解释算法上都存在缺陷，由于我也没有深入学过数分，想问问数分上对于这个问题是怎么解释的？