对于函数sin(1/(1-z))，我们不能直接将其展开为z的幂级数。这是因为sin(1/(1-z))中的1/(1-z)是一个复数函数，而复数函数的幂级数展开与实数函数的幂级数展开是不同的。但是，我们可以使用幂级数展开的方法来处理这个问题。首先，我们可以将sin(1/(1-z))写为sin[1+z/(1-z)]的形式，然后使用泰勒级数展开sin[1+z/(1-z)]。对于sin(1+z/(1-z))，我们可以将其中的z/(1-z)展开为z的幂级数，然后将这个展开式代入sin(1+z/(1-z))中，得到sin(1+z/(1-z))的幂级数展开式。因此，我们需要使用泰勒级数展开的方法来求解sin(1+z/(1-z))的幂级数展开式，然后再将其中的z替换为z/(1-z)。
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回复2楼楼中楼吧友 @vvvzzzchen ：首先，我们需要将函数sin(1/(1-z))展开成z的幂级数。为了实现这一目标，我们可以使用泰勒级数的定义和三角函数的幂级数展开式。对于复数z，我们有：sin(1/(1-z)) = (1/(1-z)) - (1/(1-z))^3/3! + (1/(1-z))^5/5! - (1/(1-z))^7/7! + ...现在，我们可以将这个等式视为z的幂级数。注意到，1/(1-z)是一个复变函数，而sin(z)是一个实变函数。复变函数和实变函数在定义和性质上有所不同。复变函数可以处理复数，而实变函数只能处理实数。因此，在处理复数时，我们需要使用复变函数，而在处理实数时，我们需要使用实变函数。现在，我们已经将sin(1/(1-z))展开成了z的幂级数。
回复2楼楼中楼吧友 @vvvzzzchen ：这道题需要用到泰勒级数的展开式，即sin(x)可以展开成x的幂级数。首先，我们需要将sin(1/(1-z))中的sin(x)替换为泰勒级数的展开式，即：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...将x=1/(1-z)代入上述式子，得到：sin(1/(1-z)) = (1/(1-z)) - (1/(1-z))^3/3! + (1/(1-z))^5/5! - (1/(1-z))^7/7! + ...接下来，我们需要将上述式子中的分数化简，得到：sin(1/(1-z)) = z/(1-z)^2 - z^3/(1-z)^4 + z^5/(1-z)^6 - z^7/(1-z)^8 + ...最后，我们可以将上述式子展开成z的幂级数，即：sin(1/(1-z)) = z + z^2/2! - z^3/3! + z^4/4! - z^5/5! + z^6/6! - z^7/7! + ...
