8063 一道小题

有解答吗

好题

另外一种作图顺序：ADE参考三角形，先定义P，此时再作PB垂直于AE，与圆2是有两个交点的（只考虑有的情况）可以猜到AEB1B2是垂心组，再作E关于PB对称点V，只需证明AVCD共圆，这个好证

思路：向量点乘。平行的部分改为证明垂直。
取左右两圆圆心为U，V，设AD中点N。
PE·VN = PE·(VC+CN)
= CE·VC +PE·CN
= DC·VC + PE·CN
= DC²/2 + PE·EA/2
因为 PB⊥AE 等价于 PB·EA = 0，作差只需证明如下恒等式： DC² = EB·EA
设 AB中点M，两个圆半径为R
2DC² = EC·ED
=EV² - R²
=(EM+MV)² - R²
= EM² + 2EM·MV - AM²
= EA·EB + 2EM·MV
另一方面，
EA·EB = (EU+UA)·(EU+UB)
= R² + 2EU·UM + UA·UB
= R² + 2(EM + MU)·MV + UM² - AM²
= 2EM·MV
所以 DC²=EA·EB，得证。

楼上向量法的后半段（证明DC² = EB·EA）相当于这个简易结构