(1-1/x^2)^1/2=[π+arccos(1/x)]/x

楼上答题写个序号撒
顺便自顶防沉

再次自顶

凹凸之顶

D4:101!+n ,n=2,3,4……101

D3-14已有解
坐等D1详解

假设猫（用B表示）速度为x，老鼠（用A表示）速度为1，池塘半径为1（圆心为O）。
老鼠的最佳策略为：先游到OA=1/x并使得∠BOA=π，然后老鼠沿着AA'垂直OA的方向运动（A'在圆上），并使得猫绕一大圈（大于π），则老鼠游到A'需要时间sqrt(1-1/x^2)，猫跑到A'需要时间(π+arccos(1/x))/x。令两者相等，解出x

首先解释一下为什么这是老鼠的一个策略，即猫为什么会傻傻的跑一大圈。
很显然，在任何时候猫只有两种选择，顺时针或逆时针跑，所以猫的策略是在∠BOA小于π时沿着圆心角减小的方向跑。而OA<1/x时，猫的圆心角速度小于老鼠，OA>1/x时，猫的圆心角速度大于老鼠，所以，在OA大于1/x时，只要老鼠不往回游（即OA是递增的，也即速度向量和AO向量夹角大于等于π/2），猫的圆心角速度总是大于老鼠，所以∠BOA总是小于π，所以猫总是不会改变方向。
所以在OA=1/x并使得∠BOA=π时，老鼠先等猫选定一个方向（猫会先选是因为猫不选老鼠可以沿着OA方向游直到猫选定方向），然后老鼠选一个相反的方向并垂直OA直线运动，即我之前所说的策略。

膜拜45楼，真乃神人也
x=4.603
应该是正解了

LZ你去看看动画片 （猫和老鼠） 就知道为什么勒。。

回复：47楼
- -，早就看过了，我只懂得了一点
这动画片真TM好看

再大概说一下该策略为什么是最佳的吧。
首先假设老鼠在OA>1/x之后不会往回游，即在A点速度向量和AO夹角总是大于等于π/2。则任给一个这样的游法，设老鼠的轨迹为c，则可以选c上的点A0,A1,...,An，其中A0为OA0=1/x的起始点，An为在圆上的终点，使得∠OAiAi+1>=π/2，这样，猫的路线不变，而老鼠路线变短了，所以老鼠的路线必为一条折线。又若∠OAiAi+1>π/2，则可以选择Ai'在Ai-1Ai上使得∠OAi'Ai+1=π/2，是一个更好的策略，所以老鼠的路线必为一条折线，OA0,A1,...,An，且∠OAiAi+1=π/2。
然后考虑从A0到A2的两个策略：1. A0A1A2折线段；2. 过A2做小圆O（圆心为O，半径1/x）的切线，切点为A'，从A0沿着小圆O游到A’（这时猫和老鼠的圆心角速度相等，所以在A'时∠BOA=π），再从A'直线游到A2。
可以看出，第二个策略等价于从A0点不拐弯的游，所以只要证第二个策略比第一个策略好，就可以证明我之前说的策略是最佳策略。
假设∠A1OA0=a，∠A2OA1=b，则第一个策略路线长:1/x*tana+1/x*(1/cosa)*tanb。令c=arccos[(1/x)/(1/x*(1/cosa)*(1/cosb))]=arccos(cosa*cosb)，则第二个策略路线路线长：1/x*tanc+1/x*(a+b-c)，即要证：
tana+tanb/cosa>=tanc+a+b-c，其中cosc=cosacosb，且a,b<π/2
上述不等式我没有证过，我只是相信它成立。如果lz想知道，可以去问梦姐


最后一点，因为求最小倍数，所以猜测最后数值解应该用进位法而不是四舍五入法取近似值