或者研究一下一个简短的特例吧
连续函数满足f(x)=( f(x-1) + f(x-π) ) / 2，问f(x)在正无穷处是否一定有极限

自顶一下，以及一些自己的思考：
f(x) = k*f(x-a) + (1-k)*f(x-b) 相当于是每个函数值都在对前面的函数值取加权平均。函数应该有极限，就是前面所有函数值的某种平均值。
a与b比值是无理数是有必要的，否则很容易构造出一个没有极限的周期函数（例如f(x) = sin(x)就满足a=b=2pi, k=0.5）
f(x)是连续函数也是有必要的，否则会出现以下两种情况：
· f(x)在一些间断点上无界，就会导致后面有无穷多个无界间断点，而极限不存在
· 可以构造出某个稠密集的指示函数（例如对于整数M,N, f(a*M+bN) = 1，其他地方f(x) = 0）
有一种可能的思路是硬解函数方程。以下形式的函数（或者他们的线性组合）都满足f(x) = k*f(x-a) + (1-k)*f(x-b)：
f(x) = e^(tx)
其中t是以下方程的复数解
k*e^(-at) + (1-k)*e^(-bt) = 1
所有满足条件的函数也许都可以写成这些指数函数的线性组合。更好的是，这些指数函数中有一个具有极限1（特殊解t=0时），其他都有极限0（其它t解，实部都是负数）。但是，线性组合很可能时无穷求和，而且还是条件收敛，我没法直接交换极限符号来求极限。