一个不透明的袋子里有10个小球，红球3个、白球6个、黑球1个。从袋子里摸小球，确认颜色后放回。如果摸出的是红色或白色，继续摸球。如果摸出的是黑色，停止摸球。不断重复操作，直到摸到黑球时停止。求摸球停止的时候，累计摸出的红球个数的期望值？
凭感觉我觉得答案就是3，有没有大神帮忙证明一下，谢谢
凭感觉我觉得答案就是3，有没有大神帮忙证明一下，谢谢
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答案确实是3，让我用两种方法试试
1.全期望公式，设累计摸出的红球个数为X，摸到第Y个球时出现黑球而停止，则
E(Y) = 1*0.1+2*0.9*0.1+...+n*0.9^(n-1)*0.1+...=0.1/(1-0.9)^2=10
因为幂级数1+2x+3x^2+...=1/(1-x)^2。
而E(X|Y)=(Y-1)*3/(3+6)=(Y-1)/3
所以E(X)=E[E(X|Y)]=E(Y-1)/3=3
2.马尔可夫链，设1为摸到黑球（吸收态）,2为摸到红球（暂态），3为摸到白球（暂态），则转移矩阵P=[1 0 0;0.1 0.3 0.6;0.1 0.3 0.6],问题转化为初始状态为3的时候，在暂态2的停留时间的期望，亚随机矩阵Q=[0.3 0.6; 0.3 0.6],答案为(I-Q)^-1的第二行第一列元素，为3.
1.全期望公式，设累计摸出的红球个数为X，摸到第Y个球时出现黑球而停止，则
E(Y) = 1*0.1+2*0.9*0.1+...+n*0.9^(n-1)*0.1+...=0.1/(1-0.9)^2=10
因为幂级数1+2x+3x^2+...=1/(1-x)^2。
而E(X|Y)=(Y-1)*3/(3+6)=(Y-1)/3
所以E(X)=E[E(X|Y)]=E(Y-1)/3=3
2.马尔可夫链，设1为摸到黑球（吸收态）,2为摸到红球（暂态），3为摸到白球（暂态），则转移矩阵P=[1 0 0;0.1 0.3 0.6;0.1 0.3 0.6],问题转化为初始状态为3的时候，在暂态2的停留时间的期望，亚随机矩阵Q=[0.3 0.6; 0.3 0.6],答案为(I-Q)^-1的第二行第一列元素，为3.
4楼2023-06-26 15:54收起回复
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