家里老人骨折了，就回老家了，工作到6月13号，老板说工资下个月发。

可以的

可以仲裁，没签劳动合同，还可以以公司没买社保为由提出离职要求经济补偿

可

可以的，未签合同可以要求双倍工资，未缴社保可以要求补齐。
如需要我们上海的律师帮忙可以留个V或者私信我

您好，可以。根据劳动合同法和社会保险法的相关规定，用人单位和劳动者从用工之日起建立劳动关系，一个月订立劳动合同并缴纳社保，这是劳动者的权利，用人单位的义务。 如用人单位未签订劳动合同，未参加养老保险的，违反了劳动合同法和社会保险法的规定。你可以根据劳动合同法解除劳动关系，并要求向单位主张： 1、支付每满一年给予一个月的经济补偿。 2、补交存在劳动关系期间的社保。 3、如果为未签劳动合同，应支付最多12月的双倍工资。

可以主张双倍工资，要求补缴社保