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∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCP=30°，PA=PC ，求证：BA=BP。
证明：
作AC的垂直平分线l，在直线L上取一点D（位于△ABC内部），
使：BA=BD，连接 DA、DB、DC，则：DA=DC，
设点E为点B关于直线L为对称，连结BE、DE、CE，
则：BA=BD=ED=EC，易知：BE∥AC，
得：ABEC是等腰梯形，
得：∠BAC=∠ECA=80°，∠ACB=∠EBC=40°，
又：∠ECB=∠ECA-∠ACB=40°=∠EBC，
得：EC=EB=BD=ED，
可知：△BDE是等边三角形，
且：点E是△BCD的外心，得：∠BED=60°=2∠BCD，
可知：∠BCD=30°=∠BCP，于是：C、D、P三点共线，
根据“同一平面内两直线相交有且只有一个交点”及点D和点P均在直线L上，
可知：点D和点P重叠，得：BD=BP，所以：BA=BP。

设∠ABP=x，0°＜x＜60°，则由角元塞瓦定理得
sinxsin10°sin30°=sin(60°-x)sin70°sin10°
→sinx=sin(80°-x)+sin(40°-x)
→sinx+sin(x-80°)+sin(x-40°)=0
→2sin(x-40°)cos40°+sin(x-40°)=0
→sin(x-40°)(2cos40°+1)=0
由于2cos40°+1≠0 ∴sin(x-40°)=0
而0°＜x＜60° ∴x=40°
则∠BPA=70°=∠BAP
∴BA=BP

∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCP=30°，PA=PC ，求证：BA=BP。
证明：
以PC为一边作向BC一侧作等边△PCD，
连接AD交BC于点E，连接PE，
则：PD=PC=PA，可知：点P是△ACD的外心，
即得：∠CPD=2∠CAD=60°，即：∠CAD=30°，
可知：∠PAD=20°=∠PDA，
又已知：∠PCB=30°，
可知：BC垂直平分PD，
即得：DE=PE，∠EPD=∠PDA=20°，
可得：∠DEC=∠PEC=1/2（180°-∠PDA-∠EPD）=70°=∠BAP，
可知：A、P、E、B四点共圆，得：∠BPA=∠BEA=∠DEC=70°=∠BAP，
所以：BA=BP。

感谢大家

不会 问汤佳杰或丁明月

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设AP=BP=x 则BC=x*(1+cos20°）/sin60°=
AB=sin20°*x+BC/2
AB^2=(BC/2)^2+(sin20°*x)^2+2*BC/2*sin20°*x
=(BC/2)^2+x^2*((sin20°)^2+(2sin20°+sin40°)/2sin60°）
=(BC/2)^2+x^2*((sin20°)^2+（2*(sin60°*cos40°-cos60°*sin40°）+sin40°）/2sin60°）
=(BC/2)^2+x^2*((sin20°)^2+cos40°）
=(BC/2)^2+(cos20°*x)^2=BP^2
故AB=BP

角格点问题 有一个通用的辅助线就是构造等边三角形

考试考一半来问贴吧？