求助假如某连续函数列的极限函数不连续，那么此函数列一定不一致收敛吗

考虑在[-1,1]上的分段函数f(x)={-1,x∈[-1,0)；1,x∈[0,1]}
fn(x)也是一个分段函数，分段区间与f(x)基本相同，在[-1,0)上，fn(x)=-1-1/n；在(0,1]上，fn(x)=1+1/n；f(0)=1
对于任意ε>0，存在N=[1/ε]+1>0，对于任意x∈[-1,1]，n>N，|fn(x)-f(x)|≤1/n＜ε