### 解答
问题涉及小明邀请南梁朋友串联分担电压,以确保电流在指定范围内。串联电路中,电流相同,电压根据总电阻分担。总电阻 \(R_{\text{total}} = n \times R_{\text{individual}}\),其中 \(n\) 为总人数(小明 + 朋友),电流 \(I = \frac{V}{R_{\text{total}}}\),电压 \(V = 220\, \text{V}\)。
人体电阻在出汗时降至 \(1\, \text{k}\Omega = 1000\,\Omega\),未出汗时为 \(100\, \text{k}\Omega = 100,000\,\Omega\)。
朋友数为 \(n - 1\)(因为包括小明)。
#### (1) 小明只能承受 50mA,出汗时电阻为 1kΩ,求需要几名朋友串联分担电压?(5分)
- 出汗时,个体电阻 \(R = 1000\,\Omega\)。
- 电流限制 \(I \leq 50\, \text{mA} = 0.05\, \text{A}\)。
- 所需总电阻:
\[
R_{\text{total}} \geq \frac{V}{I} = \frac{220}{0.05} = 4400\,\Omega
\]
- 个体电阻 \(R = 1000\,\Omega\),总人数 \(n\) 满足:
\[
n \times 1000 \geq 4400 \implies n \geq 4.4
\]
- \(n\) 必须为整数,取 \(n = 5\)(因为 \(n = 4\) 时 \(R_{\text{total}} = 4000\,\Omega\),电流 \(I = \frac{220}{4000} = 0.055\, \text{A} = 55\, \text{mA} > 50\, \text{mA}\),超限;\(n = 5\) 时 \(R_{\text{total}} = 5000\,\Omega\),电流 \(I = \frac{220}{5000} = 0.044\, \text{A} = 44\, \text{mA} \leq 50\, \text{mA}\),安全)。
- 朋友数 = \(n - 1 = 5 - 1 = 4\)。
**答案:4 名朋友**
#### (2) 未出汗时电阻为 100kΩ,想开到 30mA,求需要几名朋友串联分担电压?(6分)
- 未出汗时,个体电阻 \(R = 100,000\,\Omega\)。
- 目标电流 \(I = 30\, \text{mA} = 0.03\, \text{A}\)。
- 所需总电阻:
\[
R_{\text{total}} = \frac{V}{I} = \frac{220}{0.03} \approx 7333.333\,\Omega
\]
- 个体电阻 \(R = 100,000\,\Omega\),总人数 \(n\) 满足:
\[
n \times 100,000 = 7333.333 \implies n = \frac{7333.333}{100,000} = 0.073333
\]
- \(n < 1\),但人数不能小于 1,因此无法达到 30mA。
- 当 \(n = 1\)(只有小明)时,电流 \(I = \frac{220}{100,000} = 0.0022\, \text{A} = 2.2\, \text{mA} < 30\, \text{mA}\),远低于目标,但安全且无需朋友即可满足电流限制(因未出汗时电阻高,电流自然小)。
- 由于串联添加朋友只会增加总电阻、降低电流,使电流更远离 30mA,因此不需要朋友。
- 朋友数 = 0。
**答案:0 名朋友**
#### (3) 出汗时电阻为 1kΩ,想开到 60mA,求需要几名朋友串联分担电压?(6分)
- 出汗时,个体电阻 \(R = 1000\,\Omega\)。
- 目标电流 \(I = 60\, \text{mA} = 0.06\, \text{A}\)。
- 所需总电阻:
\[
R_{\text{total}} = \frac{V}{I} = \frac{220}{0.06} \approx 3666.667\,\Omega
\]
- 个体电阻 \(R = 1000\,\Omega\),总人数 \(n\) 满足:
\[
n = \frac{3666.667}{1000} = 3.666
\]
- \(n\) 必须为整数:
- 若 \(n = 3\),\(R_{\text{total}} = 300