求助问一道线代

令V是R上的向量空间，V*是V的对偶空间。令W是V*的子空间使得对于任意x∈V，都存在某个g∈W使得g(x)非零。求证：对于任意f∈V*以及任意x_1,x_2,...,x_n∈V，都存在某个g∈W使得g(x_i)=f(x_i)，其中I=1,2,...,n

少了个非零条件，改一下：令W是V*的子空间使得对于任意非零的x∈V，都存在某个g∈W使得g(x)非零。

不感兴趣

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我们的目的是在W里面找到一组[gi]，使得方阵[gi(xj)]的秩与span(xn)的维度相等，这样对任意的f可以构造[gi]的一组线性组合g使之在span(xn)上与f的取值相等。下面可以考虑使用归纳法。注意n=1(r=1)的情形是自然的
不妨假设x1, x2, ..., xr与xr+1是线性无关的点列，且存在g1, g2, ..., gr使得r阶方阵G=[gi(xj)]满秩。现在考察[gi]等在xr+1上的取值，则一定存在唯一一组系数[bj]，使得对任意i，有
gi(xr+1)=∑bj gi(xj)
也就是所有gi在yr+1=xr+1-∑bj xj上的取值都是0，存在唯一性由值方阵满秩保证。依假设yr+1≠0，依题设存在W上的g使得g(yr+1)≠0。
这样，向取值方阵G中加入yr+1的取值为一行，加入g的取值为一列，则分块的新矩阵G'的左下角是0且右下角是非0，故G'的秩为r+1仍然满秩。最后做行初等变化，对所有j从1到r，将第j行乘上bj倍加到r+1行，则新矩阵仍满秩，新矩阵是[gi](i从1到r+1)在[xj](j从1到r+1)的取值矩阵。归纳完成

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