线代讲义例3.18为什么向量组β和矩阵A的列向量有一样的等式关系

a=0时，(3,0,0)^T = 3(1,0,0)^T （即β2=3β1）; (5,0,0)^T = 5(1,0,0)^T（即β3=5β1）
a≠0时，(0,-1,-1)^T = (-1)(0,1,0)^T + (-1)(0,0,1)^T（即β1= -β2-β3）

我感觉这里应该只是用A矩阵求出来了a的值以及对应情况下β们的极大线性无关组中向量个数（因为A矩阵的秩＝β们的秩）。然后再把a的值代入β里面，目测得出最后结果。而且我感觉这个题第一步有些超纲吧，用到的是一个矩阵左边乘个列满秩矩阵后（或者右边乘个行满秩矩阵）秩不变。平时学的时候只学过乘可逆方阵后秩不变。这里是一个n行三列的列满秩矩阵。