谢谢回答！

首先，设函数F(x）=a/（a^2+x^2),当a大于零时对F（x）求导
有F'(x)=-2x/((a^2+x^2)^2),则函数在0到正无穷单调递减，求二阶导可知函数图像为向上开口的递减函数。由图像可以看出，显然在这种情况下∫F（x）>∑F（n）（n=0，1，2...)求得∫F（x）=arctan（x/a)(0到正无穷的定积分）=π/2
综上所述∑F（n）<∫F（x）（0到正无穷）=π/2


a小于0同理

a belong C and   n belong R

不好意思哈，二阶导求错了，不恒负还得讨论，麻烦啊。。。

我学不会极限与无穷级数。。。

MBfalse 谢谢~~

几何中割圆术，可能是个办法。

显然，仅需证明当a>0时， 0< ∑a/(a^2+n^2)< π/2 .
当a>0, a/(a^2+n^2)<=1/2n , 注意到"=" 号仅对某个n值成立，
故∑a/(a^2+n^2)< ∑1/2n = π/2 .

做错了。。

汗。。。怎么难~~

无穷级数、数学归纳法、求二阶导数都可以的

目前来看无穷级数是我最有把握的做法 ...