5961 K003 Hagge圆反演(own)

已知O,H分别为△ABC的外心，垂心。设g,c,a分别为关于△ABC的等角共轭，补和反补。对平面一点E，设I_E为点E关于⊙(HagE)的反演点，I_{gcE}为点gcE关于⊙(HE)的反演点。X_{265}为O关于△ABC的反角共轭点，X_{3448}为H关于X_{265}的对称点。O'为⊙(I_E,I_{gcE},X_{265})的圆心。
证明：O'E=O'X_{3448}当且仅当E,O,gE共线。