首先回答你的问题：不交任务道具会在一定程度上影响地牢刷新（详见下文）；如果最后期限前未交任务则任务失败，必降声望（未接任务不影响任务失败，但对地牢刷新有影响）。
目前来看，所有的地牢在生成后都有一个固定的契约与之绑定，即地牢生成后，自带任务（未来--指“黄金满地”更新--有部分离聚居地较远的地牢生成时没有与之相匹配的任务，刷新周期不会受到任务干扰）。任务未完成前地牢再刷新时①boss名字与类型不变②任务道具不会再生成③密室也是④其他区域随机⑤刷新时间缩短为一天 [实际上好像睡一觉就会刷新]（这部分仅针对存在任务道具的地牢。但这些特性有一个前提：玩家没拿到任务道具（已经杀死boss），即此地牢陷入死循环。任务失败恢复正常--没接任务则接任务等待失败，没有其他解决办法），如果拿到了任务道具，则未交任务前①~④成立，交任务或失败后恢复正常。至于不存在任务物品的地牢，我没测试过，不知道。
PS：不推荐不交任务，不值得为贵重物品几百块降低声望，特定的强力装备除外；还有就是上述描述可能存在一定错误，请谨慎对待。

你没有接任务就不减声望，不接任务你想什么时候打就什么时候打，刷完里面的怪回来睡觉保存加载，副本就刷新了

接了任务还拿着异教徒项链不交，导致我墓穴类和邪教类的副本boss房的宝箱都是空的，都是灰色鼠标

有一个办法，但是需要改存档。
把护符塞进空箱子，然后存档，复制物品存档，然后读档把护符取出来存档，粘贴之前复制的存档。
这样就能copy出一个一模一样的护符，交任务只会收走一个护符。

任务物品在身上，任务时间就不会走，所以你把护符拿到手后，塞进酒馆的箱子里，任务就会再跳回到要你去拿护符的阶段，然后你就酒店睡觉，睡到任务失败，然后再把护符拿出来用就行了。掉的声望做任务补回来就好了，其他不影响再刷到这个护符任务的时候，如果你身上带的是完美附魔的，记得先丢地上，否则任务会优先提交你身上有附魔的那个护符