今有物不知其数，三三数之有二，五五数之有三，七七数之有二，问物有多少？
解答：三三数之有二对应140，五五数之有三对应63，七七数之有二对应30，这些数相加得到233，再减210，即得数23。
同余方程式：
    x mod 3=2
    x mod 5=3
    x mod 7=2
   2572=140   1373=63
   1352=30    2 357=210
定理1 设m1,m2,…mk是两两互素的正整数，则对任意b1,b2,…,bk，同余方程组
x mod m1=b1 mod m1,
x mod m2=b2 mod m2,
…
x mod mk=bk mod mk, 其解为： x=(M1’M1b1+M2’M2b2+…+M’kMkbk )mod m
m=m1m2…mk,                     复习
Mi=m/mi    MiMi’ mod mi=1 显然(Mi,mi)=1
即Mi’是Mi的逆元Mi(mi)-1mod mi或者可用辗转相除法求Mi’.
定理4: mZ+, aZ,a是模m简化剩余的充要条件a是模m的可逆元。
必要性:a简化剩余则a可逆
    a简化剩余(a,m)=1ax mod m=1有惟一解a’,即aa’ mod m=1a是可逆元。
充分性:a可逆则a是简化剩余
a可逆存在a’，使得aa’ mod m=1 
则方程ax mod m=1有解，根据定理1的必要可知(a,m)|b即 (a,m)|1 故 (a,m)=1
例:
    x mod 3=2
    x mod 5=3
    x mod 7=2
m1=3 m2=5 m3=7 b1=2 b2=3 b3=2
m=m1m2m3=357
M1=m/m1=57   M1’=Mi(mi)-1mod mi=2
M2=m/m2=37   M2’=Mi(mi)-1mod mi=1
M3=m/m3=35   M3’=Mi(mi)-1mod mi=1
x=(M1’M1b1+M2’M2b2+…+M’kMkbk )mod m
=(2*5*7*2+1*3*7*3+1*3*5*2)mod 105
=(140+63+30) mod 105=233 mod 105=23
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