我们先不考虑挂上重物的情况，这样以来问题得到简化，最后挂上重物的问题留给广大有兴趣的中学生朋友。

首先我们明确各项参数，弹簧原长为L，总质量为m，重力加速度为g，然后将它垂直悬挂于天花板上，在重力的作用下达到平衡。
首先可以注意到，弹簧各处的拉力是不一样的，由于越靠近顶端其承受的重量越大，所以弹簧越往上，拉伸越厉害。
这里我们还要考虑如何去讨论这个拉伸，以及如何标记讨论的是哪一处的拉伸。

首先我们按原长松弛的状态，把弹簧分成若干份，每一份都很短，长度为Δx，同时按照原长松弛的弹簧上端 为原点，做弹簧上的点定位，并且坐标记为x。

补充一下，如果Δx的弹簧长度增加了Δu，则拉力为k(Δu/Δx)，
那么在x处，需要拉起的重量为mg(L-x)/L，则有mg(L-x)/L = k(Δu/Δx)。
我们以x为横坐标，Δu/Δx(拉伸程度)为纵坐标画出弹簧的拉升程度变化。

可以卡到拉伸程度是一个线性变化的规律，又是一个三角形，这样不由得使人联想到匀减速速运动求路程的的面积方法。

我们来试一下，把弹簧长度分成n份，下面在n很大时，我们略去约等于和等于的区别

总的伸长量 = Δu1+Δu2+。。。+Δun = (Δu1/Δx1)Δx1 + (Δu2/Δx2)Δx2 +。。。+ (Δun/Δxn)/Δxn = 三角形的面积
因此L原长的弹簧总的伸长了0.5*mgL/k，即总的长度变成了L+0.5*mgL/k

帮顶，我只记得结论了

按照这样的思路，不仅对L总长有效。我们完全可以观察弹簧原长任意处x点，在重力作用后变到了哪个位置(原长x加上伸长量)，注意此时的伸长量是按照梯形面积计算的。

同理如果弹簧下面吊一个重物M，思路也是一样的，所以。

我也是用微元求和得解的

程书的振动那一章就是用的这个方法(线性→取中值)，但要再算弹性势能和重力势能还是得靠微积分（

现代中学生没有你想的那么弱哦

楼主，这个k的单位是啥？如果是一般的弹性系数，这个量纲就不对了呀