【图片】“五猴分桃”问题升级版例说【趣味数学吧】

1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道趣题，也就是此后引起热烈讨论的“五猴分桃”问题。
原题：有5只猴子，在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分。第二天清晨,第一只猴子最早来到,它左分右分分不开,就朝海里扔了一个,恰好可以分成5份,它拿上自己的1份走了。第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是扔掉一个后,恰好可以分成5份，拿走1份。问这堆桃子至少有多少个。
简单地说是：先拿走1个，然后平均分为5份，拿走1份，共5次，记作“1、5、1、5”。
我把问题一般化后改写成：“每次都是先拿走a个，然后平均分为b份，拿走其中c份，共n次”，简记为：“a、b、c、n”。求最初有多少个、最后剩多少个。
显然，这里的a、b、c、n都默认是正整数。
所谓的升级版，就是根据“故事”的实际情况，a、b、c、n中的a和c可以是负整数。
比如，原题可改变一下：
有5只猴子，在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分。第二天清晨,第一只猴子最早来到,它左分右分分不开,就在树上摘了1个放入那一堆,这样恰好可以分成5份。它拿上自己的1份走了。第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是摘了1个放入后,恰好可以分成5份，拿走1份。问这堆桃子至少有多少个。
简单地说是：先放入1个（即：取走-1个），然后平均分为5份，拿走1份，共5次，记作“-1、5、1、5”。
这样的问题应该怎么解呢？

容易知道，类似于“-1、5、1、5”，还有“1、5、-1、5”和“-1、5、-1、5”2种。
一般地说，所谓的升级版，就是：在“a、b、c、n”中，b和n是正整数，而a和c至少有一个是负整数，有3种形式。
这样的问题应该怎么解呢？经探究发现，可以参照原题的方法去解。具体的结论、解题步骤几乎与原题一样。
本帖通过例子来说明。故此本帖标题为：“五猴分桃”问题升级版例说。下面准备也按五大类来举例。

在举例说明 “五猴分桃”问题升级版前。先回顾一下 “五猴分桃”问题原版的《解答“五猴分桃”问题的一般程序》。
给出“五猴分桃”问题“a、b、c、n”后，可按如下程序进行：
首先，如果b、c不互质，那么可把问题写成“a，B，C，n”（B，C最大公约数为d≥2)，然后来看a、b、c、n（b、c互质；B=bd，C=cd);
然后，按以下步骤进行：
一，算出J=(a/c)(b-c) ；
二，根据J写出x、y的通解公式；
三，确定k；
四，求出解。
解答“五猴分桃”问题升级版题目时，完全就是如上程序，其中“一，算出J=(a/c)(b-c) ”；
“二，根据J写出x、y的通解公式”；完全一样；“三，确定k；”有点修订。
请看五大类例子，待续。

下面来看看诸多例子。

第一类型：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k的确定:解不等式
（1）a﹤0时，x﹥0时; a﹥0,x﹥a;
（2）y﹥0。
例一（1），-1，5，1，3
解：
1）J=(-1/1)╳(5-1)=-4;
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k-（- 4）=125k+4;
y=[(5-1)^3]k-（- 4）=64k+4;
3)k的确定:
（1）解不等式125k+4﹥0：k﹥-4/125,得k=0、1、2、……
（2）解不等式64k+4﹥0：k﹥-4/64,得k=0、1、2、……
综上得k=0、1、2……
4)最小的x=125╳0+4=4;
最小的y=64╳0+4=4。
次小的x=125╳1+4=129，
次小的y=64╳1+4=68。

例一（2），1，5，-1，3
解：
1）J=[(1/（-1)]╳[5-(-1)]=-6;
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k-（- 6）=125k+6;
y={[5-(-1)]^3}k-（- 6）6=216k+6;
3)k的确定:
（1）解不等式125k+6﹥1：k﹥-5/125,得k=0、1、2、……
（2）解不等式216k+4﹥0：k﹥-4/216,得k=0、1、2、……
综上得k=0、1、2……
4)最小的x=125╳0+6=6;
最小的y=216╳0+6=6。
次小的x=125╳1+6=131，
次小的y=64╳1+6=222。

例一（3），-1，5，-1，3
解：
1）J=[(-1/（-1)]╳[5-(-1)]=6;
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k-6=125k-6;
y={[5-(-1)]^3}k- 6=216k-6;
3)k的确定:
（1）解不等式125k-6﹥0：k﹥6/125,得k=1、2、3、……
（2）解不等式216k-6﹥0：k﹥6/216,得k=1、2、3、……
综上得k=1、2、3、……
4)最小的x=125╳1-6=119;
最小的y=216╳1-6=210。

4楼的例一的3道题是说明性的，以此初步了解基本意思。
下面将陆续看一些数据较大的例子，以便真正理解、掌握。
例二（1）3000，11，6，3；
例二（2）-3000，11，6，3；
例二（3）3000，11，-6，3；
例二（4）-3000，11，-6，3。
解：待续

例二（1）3000，11，6，3
解：
1）J=(3000/6)╳(11-6)=2500;
2）x、y通解公式：
x=(11^3)k-2500=1331k-2500;
y=[(11-6)^3]k--2500=125k-2500;
3)k的确定:
解不等式y﹥0：125k-2500﹥0,k﹥20,得k=21、22、23、……
最小的x=1331╳21-2500=25451;
最小的y=125╳21-2500=125。
例二（2）-3000，11，6，3
解：
1）J=(-3000/6)╳(11-6)=-2500;
2）x、y通解公式：
x=(11^3)k+2500=1331k+2500;
y=[(11-6)^3]k+2500=125k+2500;
3)k的确定:
（1）解不等式x﹥0：1331k+2500﹥0,k﹥-1.87。得k=-1、0、1、……
（2）解不等式y﹥0：125k+2500﹥0,k﹥-20,得k=-19、-18、-17、……
综上得k=-1、0、1、……
最小的x=1331╳（-1）+2500=1169;
最小的y=125╳（-1）+2500=2375。
例二（3）3000，11，-6，3
解：
1）J=[3000/（-6)]╳[11-(-6)]=-8500;
2）x、y通解公式：
x=(11^3)k+8500=1331k+8500;
y=[(11-(-6)]^3]k+8500=4913k+8500;
3)k的确定:
（1）解不等式x﹥3000：即1331k+8500﹥3000。k﹥（-5500)/1331=-4.13。得k=-4、-3、-2、……
（2）解不等式y﹥0：即4913k+8500﹥0。k﹥（-8500)/4913=-1.73。得k=-1、0、1、……
综上得k=-1、0、1、……
4）最小的x=1331╳（-1）+8500=7169;
最小的y=4913╳（-1）+8500=3587。

例二（4）-3000，11，-6，3
解：
1）J=[（-3000）/（-6)]╳[11-(-6)]=8500;
2）x、y通解公式：
x=(11^3)k-8500=1331k-8500;
y=[(11-(-6)]^3]k-8500=4913k-8500;
3)k的确定:
（1）解不等式x﹥0：即1331k-8500﹥0。k﹥8500/1331=6.38。得k=7、8、9、……
（2）解不等式y﹥0：即4913k-8500﹥0。k﹥8500/4913=1.73。得k=2、3、4、……
综上得k=7、8、9、……
4）最小的x=1331╳7-8500=817;
最小的y=4913╳7-8500=25891。

4楼、5楼、6楼例说了第一类型，下面看第二类型。
第二类型：a，B，C，n（a是C的倍数；B，C最大公约数为d≥2，B=bd，C=cd）
转化为：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质；）
1）J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列3个联立确定
（1）a﹤0时，x﹥0时; a﹥0,x﹥a;
（2）解不等式y﹥0，
（3）解不定方程：x-a=Bp
例（1）45，65，45，3；
例（2）-45，65，45，3；
例（3）45，65，-45，3；
例（4）-45，65，-45，3。
解：待续

下面来解7楼给出4道题目：
例（1）45，65，45，3
解：d=(65,45)=5;来看45、13、9、3
1）J=（45/9)╳(13-9)=20;
2）x、y通解公式：
x=(13^3)k-20=2179k-20;
y=[(13-9)^3]k-20=64k-20;
3）k的确定:
（1）解不等式y﹥0：即64k-20﹥0。得k=1、2、3、……
（2）x-45=65p，即2179k-65=65p。P=(169k-5)/5,得k=……、-5、0、5、……
综上得k=5、10、15、……
4）最小的x=2179╳5-20=10965;
最小的y=64╳5-20=300。
例（2）-45，65，45，3
解：d=(65,45)=5;来看 -45、13、9、3
1）J=（-45/9)╳(13-9)=-20;
2）x、y通解公式：
x=(13^3)k+20=2179k+20;
y=[(13-9)^3]k+20=64k+20;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0：即2179k+20﹥0。得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0：即64k+20﹥0。得k=0、1、2、……
（3）x+45=65p，即2179k+65=65p。P=(169k+5)/5,得k=……、-5、0、5、……
综上得k=5、10、15、……
4）最小的x=2179╳5+20=11005;
最小的y=64╳5+20=340。
例（3）45，65，-45，3
解：d=(65,-45)=5;来看 45、13、-9、3
1）J=[（45/（-9)]╳[13-(-9)]=-110;
2）x、y通解公式：
x=(13^3)k+110=2179k+110;
y=[(13-(-9)]^3]k+110=10648k+110;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥45：即2179k+110﹥45。得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0：即10648k+110﹥0。得k=0、1、2、……
（3）x-45=65p，即2179k+65=65p。P=(169k+5)/5,得k=……、-5、0、5、……
综上得k=0、5、10、……
4）最小的x=y=110
次小的x=2179╳5+110=11095;
次小的y=10648╳5+110=53350。

例（4）-45，65，-45，3
解：d=(65,-45)=5;来看 -45、13、-9、3
1）J=[（-45）/（-9)]╳[13-(-9)]=110;
2）x、y通解公式：
x=(13^3)k-110=2179k-110;
y=[(13-(-9)]^3]k-110=10648k-110;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0：即2179k-110﹥0。得k=1、2、3、……
（2）解不等式y﹥0：即10648k-110﹥0。得k=1、2、3、……
（3）x+45=65p，即2179k-65=65p。P=(169k-5)/5,得k=……、-5、0、5、……
综上得k=5、10、15、……
4）最小的x=2179╳5-110=10875;
最小的y=10648╳5-110=53130。

4楼、5楼、6楼例说了第一类型，7楼、8楼说了第二类型。下面看第三类型。
第三类型：a，b，c，n（a不是c的倍数；b，c互质）
1）J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列三个联立确定:
（1）a﹤0时，x﹥0时; a﹥0,x﹥a;
（2）解不等式y﹥0
（3）解不定方程：

例（1）40，64，45，3；
例（2）-40，64，45，3；
例（3）40，64，-45，3；
例（4）-40，64，-45，3。
解：待续

下面来解10楼给出4道题目：
例（1）40，64，45，3
解：1）J=（40/45)╳（64-45）=152/9;
2）x、y通解公式：
x=[(64^3)k-152]/9=（262144k-152）/9;
y={（64-45）^3]k-152}/9=(6859k-152）/9;
3）k的确定:
（1）解不等式y﹥0：即6859k-152﹥0。得k=1、2、3、……
（2）解不定方程y=(6859k-152）/9=762k-17+(k+1)/9。得k=8、17、26、……
综上得k=8、17、26、……
4）最小的x=（262144╳8-152）/9=233000
最小的y=(6859╳8-152）/9=6080。

（2）例（2）-40，64，45，3
解：1）J=（-40/45)╳（64-45）=-152/9;
2）x、y通解公式：
x=[(64^3)k+152]/9=（262144k+152）/9;
y={（64-45）^3]k+152}/9=(6859k+152）/9;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0, 即262144k+152﹥0，得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0,即6859k+152﹥0，得k=0、1、2、……
（3）解不定方程y=(6859k+152）/9=762k+17+(k-1)/9。得k=1、2、3、……
综上得k=1、2、3、……
4）最小的x=（262144╳1+152）/9=29144
最小的y=(6859╳1+152）/9=779。

例（3）40，64，-45，3
解：1）J=[40/(-45))╳[64-(-45）]=-872/9;
2）x、y通解公式：
x=[(64^3)k+872]/9=（262144k+872）/9;
y=[(109^3)k+872]/9=(1295029k+872）/9;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥40, 即262144k+872﹥40，得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0,即1295029k+872﹥0，得k=0、1、2、……
（3）解不定方程y=(1295029k+872）/9=14392k+97+(k-1)/9。得k=-8、1、10、……
综上得k=1、10、19、……
4）最小的x=（262144╳1+872）/9=29224
最小的y=(1295029╳1+872）/9=143989。

例（4）-40，64，-45，3
解：1）J=[（-40/(-45))╳[64-(-45）]=872/9;
2）x、y通解公式：
x=[(64^3)k-872]/9=（262144k-872）/9;
y=[(109^3)k-872]/9=(1295029k-872）/9;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0, 即262144k-872﹥40，得k=1、2、3、……
（2）解不等式y﹥0,即1295029k-872﹥0，得k=1、2、3、……
（3）解不定方程y=(1295029k-872）/9=14392k-97+(k+1)/9。得k=-1、8、17、……
综上得k=8、17、26、……
4）最小的x=（262144╳8-872）/9=232920；
最小的y=(1295029╳8-872）/9=1151040。

4楼、5楼、6楼例说了第一类型，7楼、8楼说了第二类型。10楼、11楼说了第三类型。
下面看第四类型。
第四类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数，但是d的倍数，J为分数时）
转化为：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)=s/t
2）通解公式：

3）k由下列三个联立确定:
（1）a﹤0时，x﹥0时; a﹥0,x﹥a;
（2）解不等式：y﹥0，
（3）解不定方程：x-a=Bp
例（1）39，57，45，3
例（2）-39，57，45，3
例（3）39，57，-45，3
例（4）-39，57，-45，3
解：待续

下面来解12楼给出4道题目：
例（1）39，57，45，3
解：d=(57,45)=3;来看 39、19、15、3
1）J=（39/15)╳（19-15）=52/5;
2）x、y通解公式：
x=[(19^3)k-52]/5=（6859k-52）/5;
y={（19-15）^3]k-52}/9=(64k-52）/5;
3）k的确定:
（1）解不等式y﹥0：即64k-52﹥0。得k=1、2、3、……
（2）解不定方程x-39=57p,即（6859k-247）/5=57p,p=(361k-13)/15=24k-1+(k+2)/15。
综上得k=13、28、43、……
4）最小的x=（6859╳13-52）/5=17823
最小的y=(64╳13-52）/9=156。

例（2）-39，57，45，3
解：d=(57,45)=3;来看 -39、19、15、3
1）J=（-39/15)╳（19-15）=-52/5;
2）x、y通解公式：
x=[(19^3)k+52]/5=（6859k+52）/5;
y={（19-15）^3]k+52}/9=(64k+52）/5;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0：即6859k+52﹥0。得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0：即64k+52﹥0。得k=0、1、2、……
（3）解不定方程x+39=57p,即（6859k+247）/5=57p,p=(361k+13)/15=24k+1+(k-2)/15。得k=……、2、17、32、……
综上得k=2、17、32、……
4）最小的x=（6859╳2+52）/5=2754
最小的y=(64╳2+52）/5=36。
例（3）39，57，-45，3
解：d=(57,45)=3;来看 39、19、-15、3
1）J=[39/（-15）]╳[19-(-15）]=-442/5;
2）x、y通解公式：
x=[(19^3)k+442]/5=（6859k+442）/5;
y={[19-(-15）]^3]k+442}/5=(39304k+442）/5;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥39：即(6859k+442）/5﹥39。得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0：即39304k+442﹥0。得k=0、1、2、……
（3）解不定方程x-39=57p,即（6859k+247）/5=57p,p=(361k+13)/15=24k+1+(k-2)/15。得k=……、2、17、32、……
综上得k=2、17、32、……
4）最小的x=（6859╳2+442）/5=2832
最小的y=(39304╳2+442）/5=15810。
例（4）-39，57，-45，3
解：d=(57,45)=3;来看 -39、19、-15、3
1）J=[(-39）/（-15）]╳[19-(-15）]=442/5;
2）x、y通解公式：
x=[(19^3)k-442]/5=（6859k-442）/5;
y={[19-(-15）]^3]k-442}/5=(39304k-442）/5;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0：6859k-442﹥0。得k=1、2、3、……
（2）解不等式y﹥0：即39304k-442﹥0。得k=1、2、3、……
（3）解不定方程x+39=57p,即（6859k+247）/5=57p,p=(361k+13)/15=24k+1+(k-2)/15。得k=……、-2、13、28、……
综上得k=13、28、43、……
4）最小的x=（6859╳13- 442）/5=17745
最小的y=(39304╳13-442）/5=102102。

4楼、5楼、6楼例说了第一类型，7楼、8楼说了第二类型；10楼、11楼说了第三类型；12楼、13楼说了第四类型。
下面看第五类型。
第五类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为整数）。
转化为：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列三个联立确定:
（1）a﹤0时，x﹥0时; a﹥0,x﹥a;
（2）解不等式：y﹥0，
（3）解不定方程：x-a=Bp
例（1）30，57，45，3

例（2）-30，57，45，3
例（3）30，57，-45，3
例（4）-30，57，-45，3
解：待续

下面来解15楼给出4道题目：
例（1）30，57，45，3
解：d=(57,45)=3;来看 30、19、15、3
1）J=（30/15)╳（19-15）=8;
2）x、y通解公式：
x=(19^3)k-8=6859k-8;
y=[（19-15）^3]k-8=64k-8;
3）k的确定:
（1）解不等式y﹥0：即64k-8﹥0。得k=1、2、3、……
（2）解不定方程x-30=57p,即6859k-38=57p,
p=(361k-2)/3，得k=2、5、8、……。
综上得k=2、5、8、……
4）最小的x=6859╳2-8=13710
最小的y=(64╳2-8）/9=120。
例（2）-30，57，45，3
解：d=(57,45)=3;来看 -30、19、15、3
1）J=（-30/15)╳（19-15）=-8;
2）x、y通解公式：
x=(19^3)k+8=6859k+8;
y=[（19-15）^3]k+8=64k+8;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0，即6859k+8﹥0。得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0，即64k+8﹥0。得k=0、1、2、……
（3）解不定方程x-（-30）=57p,即6859k+38=57p,
p=(361k+2)/3，得k=1、4、7、……。
综上得k=1、4、7、……
4）最小的x=6859╳1+8=6867
最小的y=64╳1+8=72。
例（3）30，57，-45，3
解：d=(57,45)=3;来看 30、19、-15、3
1）J=30/（-15)╳[19-（-15)]=-68;
2）x、y通解公式：
x=(19^3)k-(-68)=6859k+68;
y=[（19-(-15）]^3k+68=39304k+68;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥30，即6859k+68﹥30。得k=0、1、2、……
（2）解不等式y﹥0，即39304k+68﹥0。得k=0、1、2、……
（3）解不定方程x-30=57p,即6859k+38=57p,
p=(361k+2)/3，得k=1、4、7、……。
综上得k=1、4、7、……
4）最小的x=6859╳1+68=6927
最小的y=39304╳1+68=39372。
例（4）-30，57，-45，3
解：d=(57,45)=3;来看 -30、19、-15、3
1）J=（-30）/（-15)╳[19-（-15)]=68;
2）x、y通解公式：
x=(19^3)k-68)=6859k-68;
y=[（19-(-15）]^3k-68=39304k-68;
3）k的确定:
（1）解不等式x﹥0，即6859k-68﹥0。得k=1、2、3、……
（2）解不等式y﹥0，即39304k-68﹥0。得k=1、2、3、……
（3）解不定方程x+30=57p,即6859k-38=57p,
p=(361k2)/3，得k=2、5、8、……。
综上得k=2、5、8、……
4）最小的x=6859╳2-68=13650
最小的y=39304╳2-68=78540。

日	一	二	三	四	五	六

“五猴分桃”问题升级版例说

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