引言
阵列感应测井是重要的电阻率测井方法之一，其优点是分辨率高、对侵入反映明显、探测深度深、测量信息丰富。
由于阵列感应测井仪有多个提供高分辨率的短子阵列，仪器偏心严重影响测量结果，尤其是大井眼和低电阻率泥浆情形，导致后续信号合成处理出错，产生错误的解释结论，因此必须进行偏心影响校正。
1、井眼模型建立、网格剖分和求解器选取
1.1建立偏心模型阵列
感应测井仪MIT的偏心模型见图1。地层由井眼和地层组成，带有偏心块的仪器轴心偏离井眼中心。
建模时井眼和地层是等高的圆柱，根据趋肤效应计算地层的大小，由电磁场的传播特性考虑地层为球形，仪器是处在井眼偏心状态的有限高度圆柱。图1给出了偏心模型剖面图和横截面图。
图１ 偏心井眼模型
图１偏心井眼模型阵列感应测井仪MIT有3个工作频率（26.325、52.65、105.3kHz），位移电流 ∂D/∂t 的大小相对传导电流小得多，可以忽略，因此可用似稳场计算。
COMSOL仿真软件的AC/DC模块提供的一般形式的PDE方程为
（一）
（二）
式中，A 为磁矢量；
为外加电流源；V 为导体的速度，此处为０；V 为电势；M 为磁偶极矩；P 为电偶极矩；其他量为电磁学基本参数。对于阵列感应测井偏心问题，发射线圈源可以等效为磁偶极子，方程只有磁偶极子源。
1.2网格剖分
由于模型较大，且内外层尺寸相差大，软件自动网格剖分比较粗糙，不能满足精度要求。如果等间距剖分，网格数量巨大，计算机无法计算或十分耗时。因此采用手动剖分，并根据物理问题采用适合模型的剖分方法，由源中心到地层外围渐变剖分。既满足了精度要求，也极大降低了网格数量，节约内存和计算时间。
方法为:
①源附近能量密集，加密处理，径向加分布，控制最小和最大尺寸；
②仪器边界层和井眼边界层进行合理的层处理，以使得磁场在穿越边界层时不要损失太大；
③对接收线圈位置作特殊处理，加辅助点和线，使测量点处在剖分点上，消除差值引起的误差；
④对整个区域选择渐变的剖分方式，从源开始到远处边界逐渐加大增长速度降低整体网格数量。
图２ 整体剖分效果图
1.3求解
COMSOL仿真软件在求解时提供了多种迭代方式，如广义最小余量法（GMRES）、灵活的广义最小余量法（FGMRES）、稳定的双共轭梯度法（BiCG－Stab）和共轭梯度法（CG）。求解中发现默认迭代方式GMRES在泥浆和地层电导率对比度大时迭代收敛速度慢或者不收敛，会出现停滞现象。
这里选用其他3种迭代方式。实验发现当仪器内电导率取０时，保证一定精度情况下，CG优于其他２种方法，比BiCG－Stab所用内存空间小，比FGMRES迭代次数少。当不考虑仪器电导率，即仪器电导率和泥浆电导率相同时，FGMRES优于其他2种方法，比CG稳定，比BiCG－Stab所用内存空间小。因此，考虑仪器响应时用CG计算，不考虑仪器响应时用FGMRES计算。
2、计算数据的比较及分析
为准确验证模型建立的正确性以及网格剖分合理性，首先计算均匀地层模型，将结果与解析解比较。取均匀地层电导率为 0.1S/m，地层半径40m，计算结果见表1。
表１显示均匀地层COMSOL仿真软件计算结果与解析解的相对误差最大为0.369796％，能够较好地满足计算精度，计算数据可靠有效。
在有限元数值计算中，不同泥浆和地层电导率对比度会影响计算的准确性，且对比度越大，计算精度越差。要提高精度，边界网格必须越密，建立偏心数据库的井眼半径范围0.06～0.2ｍ，泥浆电导率0.1～100S/m，地层电导率0.001 ～10S/m。
不同地层电导率地层模型的半径不同，地层电导率越小需要地层越大，网格剖分数量越多，所需计算时间越长，为了提高计算效率，地层电导率在0.001～0.01S/m，地层半径150ｍ；地层电导率0.01～10.0S/m，地层半径40m。比较不同泥浆和地层电导率对比度居中情况下COMSOL解与解析解。
表2中泥浆电导率0.1S/m，地层电导率1.0S/m，对比度为10。
表3中，泥浆电导率0.1S/m，地层电导率20S/m，对比度200。
表2和表3表明，对比度为10时，最大相对误差为200时，最大相对误差为0.649668％，都在允差1％以内。因此在不同对比度下计算的偏心响应都可以满足需求，建立准确的偏心校正数据库。
3、偏心影响分析
建立的偏心校正数据库中，选择1组偏心严重的情况分析偏心影响。
取井眼半径16in，偏心块0.5in，频率26.325kHz。
图3和图4分别是子阵列6和子阵列7在偏心和居中时的响应比较。
图3中给出了居中和偏心的三维图，为了清楚分析居中和偏心的差别，图3（c）绘出了3种地层电导率时偏心影响比较。从图3和图4可见：
（1）子阵列6的偏心视电导率整体小于居中视电导率，地层电导率不变，随着泥浆电导率增大，偏心与居中的视电导率差异增大。
（2）子阵列7当地层电导率大于泥浆电导率时，偏心视电导率大于居中视电导率，反之偏心视电导率小于居中视电导率，随着泥浆电导率增大差异变大。
（3）比较2图，子阵列6和7受偏心影响完全相反，前者是负差值，后者是正差值。2个子阵列受偏心影响的共同点是随泥浆电导率与地层电导率的比值增大，差值增大，即偏心影响严重。这些现象表明，偏心时仪器测量到的信号与居中时有较大差别。
结 论
（1）通过建立合理模型，针对具体问题实现网格剖分，选择有效的迭代方式使得解稳定有效，将数值解的相对误差控制在一定范围内，达到所需的精度要求，用COMSOL软件可以准确计算阵列感应测井仪MIT的偏心响应。
（2）对阵列感应测井仪MIT建立偏心响应数据库，对偏心严重的响应绘制图版进行分析，得出不同子阵列偏心下的影响，可以有效分析偏心时对视电导率的影响。
（3）利用本文研究的方法可以将COMSOL仿真软件推广到感应类仪器其他问题的分析与解决，为解决此类数值计算问题提供有效途径。
阵列感应测井是重要的电阻率测井方法之一，其优点是分辨率高、对侵入反映明显、探测深度深、测量信息丰富。
由于阵列感应测井仪有多个提供高分辨率的短子阵列，仪器偏心严重影响测量结果，尤其是大井眼和低电阻率泥浆情形，导致后续信号合成处理出错，产生错误的解释结论，因此必须进行偏心影响校正。
1、井眼模型建立、网格剖分和求解器选取
1.1建立偏心模型阵列
感应测井仪MIT的偏心模型见图1。地层由井眼和地层组成，带有偏心块的仪器轴心偏离井眼中心。
建模时井眼和地层是等高的圆柱，根据趋肤效应计算地层的大小，由电磁场的传播特性考虑地层为球形，仪器是处在井眼偏心状态的有限高度圆柱。图1给出了偏心模型剖面图和横截面图。
图１ 偏心井眼模型
图１偏心井眼模型阵列感应测井仪MIT有3个工作频率（26.325、52.65、105.3kHz），位移电流 ∂D/∂t 的大小相对传导电流小得多，可以忽略，因此可用似稳场计算。
COMSOL仿真软件的AC/DC模块提供的一般形式的PDE方程为
（一）
（二）
式中，A 为磁矢量；
为外加电流源；V 为导体的速度，此处为０；V 为电势；M 为磁偶极矩；P 为电偶极矩；其他量为电磁学基本参数。对于阵列感应测井偏心问题，发射线圈源可以等效为磁偶极子，方程只有磁偶极子源。1.2网格剖分
由于模型较大，且内外层尺寸相差大，软件自动网格剖分比较粗糙，不能满足精度要求。如果等间距剖分，网格数量巨大，计算机无法计算或十分耗时。因此采用手动剖分，并根据物理问题采用适合模型的剖分方法，由源中心到地层外围渐变剖分。既满足了精度要求，也极大降低了网格数量，节约内存和计算时间。
方法为:
①源附近能量密集，加密处理，径向加分布，控制最小和最大尺寸；
②仪器边界层和井眼边界层进行合理的层处理，以使得磁场在穿越边界层时不要损失太大；
③对接收线圈位置作特殊处理，加辅助点和线，使测量点处在剖分点上，消除差值引起的误差；
④对整个区域选择渐变的剖分方式，从源开始到远处边界逐渐加大增长速度降低整体网格数量。
图２ 整体剖分效果图
1.3求解
COMSOL仿真软件在求解时提供了多种迭代方式，如广义最小余量法（GMRES）、灵活的广义最小余量法（FGMRES）、稳定的双共轭梯度法（BiCG－Stab）和共轭梯度法（CG）。求解中发现默认迭代方式GMRES在泥浆和地层电导率对比度大时迭代收敛速度慢或者不收敛，会出现停滞现象。
这里选用其他3种迭代方式。实验发现当仪器内电导率取０时，保证一定精度情况下，CG优于其他２种方法，比BiCG－Stab所用内存空间小，比FGMRES迭代次数少。当不考虑仪器电导率，即仪器电导率和泥浆电导率相同时，FGMRES优于其他2种方法，比CG稳定，比BiCG－Stab所用内存空间小。因此，考虑仪器响应时用CG计算，不考虑仪器响应时用FGMRES计算。
2、计算数据的比较及分析
为准确验证模型建立的正确性以及网格剖分合理性，首先计算均匀地层模型，将结果与解析解比较。取均匀地层电导率为 0.1S/m，地层半径40m，计算结果见表1。
表１显示均匀地层COMSOL仿真软件计算结果与解析解的相对误差最大为0.369796％，能够较好地满足计算精度，计算数据可靠有效。
在有限元数值计算中，不同泥浆和地层电导率对比度会影响计算的准确性，且对比度越大，计算精度越差。要提高精度，边界网格必须越密，建立偏心数据库的井眼半径范围0.06～0.2ｍ，泥浆电导率0.1～100S/m，地层电导率0.001 ～10S/m。
不同地层电导率地层模型的半径不同，地层电导率越小需要地层越大，网格剖分数量越多，所需计算时间越长，为了提高计算效率，地层电导率在0.001～0.01S/m，地层半径150ｍ；地层电导率0.01～10.0S/m，地层半径40m。比较不同泥浆和地层电导率对比度居中情况下COMSOL解与解析解。
表2中泥浆电导率0.1S/m，地层电导率1.0S/m，对比度为10。
表3中，泥浆电导率0.1S/m，地层电导率20S/m，对比度200。
表2和表3表明，对比度为10时，最大相对误差为200时，最大相对误差为0.649668％，都在允差1％以内。因此在不同对比度下计算的偏心响应都可以满足需求，建立准确的偏心校正数据库。
3、偏心影响分析
建立的偏心校正数据库中，选择1组偏心严重的情况分析偏心影响。
取井眼半径16in，偏心块0.5in，频率26.325kHz。
图3和图4分别是子阵列6和子阵列7在偏心和居中时的响应比较。
图3中给出了居中和偏心的三维图，为了清楚分析居中和偏心的差别，图3（c）绘出了3种地层电导率时偏心影响比较。从图3和图4可见：
（1）子阵列6的偏心视电导率整体小于居中视电导率，地层电导率不变，随着泥浆电导率增大，偏心与居中的视电导率差异增大。
（2）子阵列7当地层电导率大于泥浆电导率时，偏心视电导率大于居中视电导率，反之偏心视电导率小于居中视电导率，随着泥浆电导率增大差异变大。
（3）比较2图，子阵列6和7受偏心影响完全相反，前者是负差值，后者是正差值。2个子阵列受偏心影响的共同点是随泥浆电导率与地层电导率的比值增大，差值增大，即偏心影响严重。这些现象表明，偏心时仪器测量到的信号与居中时有较大差别。
结 论
（1）通过建立合理模型，针对具体问题实现网格剖分，选择有效的迭代方式使得解稳定有效，将数值解的相对误差控制在一定范围内，达到所需的精度要求，用COMSOL软件可以准确计算阵列感应测井仪MIT的偏心响应。
（2）对阵列感应测井仪MIT建立偏心响应数据库，对偏心严重的响应绘制图版进行分析，得出不同子阵列偏心下的影响，可以有效分析偏心时对视电导率的影响。
（3）利用本文研究的方法可以将COMSOL仿真软件推广到感应类仪器其他问题的分析与解决，为解决此类数值计算问题提供有效途径。
