lz做到佩尔方程，想到递降，但没配出来（也不知道对不对，没有标答）。

除了n=1和7，还没能找到其它的解！猜想存在两组以上的正整数解

令(n+1)/2=a^2，(1+n^2)/2=b^2
即n+1=2a^2，1+n^2=2b^2
因此n^2-2b^2=-1，其最小解（1，1），所有解（n，b）=（1+2^0.5）^（2k+1）
当k=1，（n，b）=（1+2^0.5）^3=1+3x2^0.5+3x2+2x2^0.5=7+3x2^0.5，n=7

顶一顶吧，问了几个很厉害的同学也没结果，难度应该TST上下吧？

看起来仅有两个正整数解，可能要用代数数论方法，涉及到四次域

一般是仅有两解

这个问题应该是楼主自己从别的问题延伸出来的吧。其实不用太纠结。解不出来是正常的啦。
(n+1)/2=a^2和(1+n^2)/2=b^2，消去n，得到的是雅克比四次曲线Jacobi Quartic curve。
原始问题相当于寻找曲线上的整点。
翻开Mordell的名著《丢番图方程》Diophantine Equations，77页。就能找到把雅克比四次曲线保有理性地转化为椭圆曲线Elliptic curve的方法（有理数点转化为有理数点）。
关于Elliptic curve，早已有大量的研究。比如说有著名的Siegel定理，椭圆曲线上，整点只有有限多个。如果能够直接使用的话，立刻就知道原问题的解只有有限个。（但还不能确定就1和7两个……）
不过这里有个问题，变换是保持有理性不变，而非整性不变。它可能把整点变为了一般的有理点。还要对具体的问题，给出具体分析。
所以说，除非是特别数字特别巧的那种，基本上不大可能用初等方法把这类问题讨论明白的。

1+n+n^2+n^3=m^2只有n=-1,0,1,7四组整数解，所以这个方程组只有n=-1,1,7三组整数解
(//∇//)

1+n+n^2+n^3=(1+n)(1+n^2)=m^2,如果n是偶数，括号里面互质，所以
1+n=f1^2, 1+n^2=f2^2,
只可能是n=0;
如果n是奇数，右边括号里就是两个偶数，等式两边除以4之后，由于(1+n^2)/2和(1+n)/2互质，所以
1+n=2r^2,1+n^2=2s^2
直接消去n没有影响，就是
1+(2r^2-1)^2=2s^2
即 r^4+(r^2-1)^2=s^2
由于r^2和r^2-1互质，这个方程的解是一组勾股方程的本原解，必存在a,b使得
s=a^2+b^2, r^2=a^2+b^2, r^2-1=2ab
或者满足另一组
s=a^2+b^2, r^2-1=a^2+b^2, r^2=2ab
两种情况中a,b都互质，否则r^2和r^2-1不互质，
第一种情况a,b,r又是一组勾股方程本原解，所以必存在p,q 使得
a=p^2+q^2, b=p^2-q^2, r=2pq
(第一种情况中r是奇数，所以这种情况无解)
或者 a=p^2+q^2, r=p^2-q^2, b=2pq
再代入r^2-1=2ab, 即a^2-b^2-1=2ab, 即(a-b)^2=2b^2+1, 就必须满足
(p^2-2pq+q^2)^2=2(2pq)^2+1,
即(p-q)^4=8p^2q^2+1,
由于方程x^4-y^4=2z^2没有非零整数解，所以这种情况下只可能p=0, q=1,-1或p=1,-1, q=0,即a=1, b=0, r=1,-1, s=1, n=1;
第二种情况下，由于r^2=2ab,而且a,b互质,若a为奇数，则b必为偶数，可设
a=x^2, b=2y^2，(x为奇数,x,y互质)
若b为奇数，则a必为偶数，同理可设
b=y^2, a=2x^2, (y为奇数,x,y互质)
由2ab-(a^2-b^2)=1, 即 b^2+2ab+a^2=2a^2+1, 即(b+a)^2=2a^2+1,由于a+b为奇数，所以2a^2是8的倍数，a是偶数，只有一种情况成立，代入x,y,
(y^2+2x^2)^2=8x^4+1
即 (y^2+2x^2-1)(y^2+2x^2+1)=8x^4,
若x为奇数，则第一个括号里面=2(mod8)，第二个括号里面=4(mod8),
(括号一/2)和(括号二/4)互质，所以可设
y^2+2x^2-1=2p^4, y^2+2x^2+1=4q^4,x=pq,
消去x可化为
y^2=(p^2-q^2)^2+q^4, p^4+1=2q^4
由于X^4+Y^4=2Z^2的解只有X^4=Y^4=Z^2,所以都不用考虑前一个方程，后一个方程的解只有p=1,-1, q=1,-1,此时前一个方程正好也满足，有x=1,-1, y=1,-1, a=2, b=1, r=2,-2, s=5, n=7;
若x为偶数，括号一=0(mod8)，括号二=2(mod8)，而且(括号一/4)和(括号二/2)互质，所以可设
y^2+2x^2-1=4q^4, y^2+2x^2+1=2p^4,x=pq,
消去x后得到，
y^2=(p^2-q^2)^2+q^4, 2q^4+1=p^4,
由于形如X^4-Y^4=2Z^2的方程没有非零整数解，只可能q=0, p=1,-1,则 x=0, y=1,-1, a=0, b=1, s=1, r=0, n=-1;
总共只有n=-1,0,1,7四组解，奇数解就是要求的情况

从1+(2r^2-1)^2=2s^2
如何得出 r^4+(r^2-1)^2=s^2

容易判断p^4-2q^2=1只有平凡解！