先别管1/3，我们先看1/7
1/7=0.142857...，除不尽，无限循环小数
0.142857...x7=1，这个应该没什么争议
然后再回头看1/3
1/3=0.33...，同样除不尽，同样是无限循环小数
0.33...x3=1直接同理可证，应该也没什么毛病
但是，
根本就没出现0.99...这个数啊

不要秀学历，也不要嘲讽别人，
这个结论小学也能背，真不能说明懂得很多。
但是问题出在哪呢？

或许问题出在大家口中的0.33...其实不是同一个数：
（1）一个0.33...是数学1/3算出来的，
这个0.33..和1/7=0.142857...相似，都是无限循环小数，
它们不管除到多少位，都是除不尽，有余数的
这个0.33...x3直接就=1，而不是0.99...
（2）另一个0.33...是哲学的，理想化的，
这个0.33...和1/3的值很相似，但并不相等，
这个0.33...只是单纯的无限循环小数，不带余数的
这个0.33...x3是等于0.99...，而不是=1

但不管哪个0.33...，都有0.99...≠1啊，哪相等了？
为什么还会有0.99...=1的结论呢？

大家也别浪费时间搞什么证明了，
其实这只是数学圈内有特殊规定的结论罢了，
数学圈内规定了，
实数轴上相邻的实数就是相等。

但邻居的邻居，可不一定买账：
实数轴上，
与0点相邻的正实数可以表示为1-0.99...
与0点相邻的负实数可以表示为0.99...-1
因为1-0.99...和0.99...-1并不相邻，
一个正实数，一个负实数，中间还隔着实数0，
所以找邻居的邻居，就可以不用管特殊规定，
直接得1-0.99...＞0.99...-1

再举一个例子，既然0.99...和1相邻，
那我们找一组不相邻的，例如：
0.99...+0.99...，1+0.99...，1+1
结论0.99...+0.99...＜2
或者0.99...x2＜2

仅分析讨论，虽然大家都知道哲学上0.99...＜1，
哲学上也有很多关于无线延伸的思考，
但确实会好奇，为什么数学圈内规定0.99...=1呢？

建议：
一般人只需知道这是个规定就好，也没什么神奇的
至于为啥有这种规定，还是留给数学圈内部讨论吧

今天补充一个更直观的说法。
实数十进制表示法有瑕疵，
确实是的，实数用分数和小数转化的时候，确实有瑕疵
1/9=0.111...
2/9=0.222...
3/9=0.333...
4/9=0.444...
5/9=0.555...
6/9=0.666...
7/9=0.777...
8/9=0.888...
9/9=？
10/9=1.111...
11/9=1.222...
13/9=1.333...
9/9转化成小数，究竟是表示为0.99...？还是表示为1.000...？
————————
列举一个类似进制描述的问题，
一天12个小时，时针和分针重合几次？
1点多，2点多，……9点多，10点多，12点整。
11点没有重合因为60进制，变成了12点整
证明11点60分=12点整？
大可不必，只需要知道这是个规定就可以了

其实小学除法竖式计算是可以理解9循环的
商循环＋余数循环就是无限循环小数的形式，
但9循环时，余数＝除数，意味着是可以整除的，
想结束循环，只需令任意一位商＝10，
所有的9自动进位，9循环可随时转换成0循环

@eplxr8
关键有三个，
一是用9进制划分整数n，构造n/9＝0.nn...，
二是如果n/9=0.nn...，那么9/9就是1，
如果n/9=0.nn...+余数，那么9/9=0.99...+余数
三是用竖式计算验证，也可以看到0.99...的余数＝除数，
余数=除数，说明0.99...循环并不是最简结果，实际上是可以除尽的。
而前面0.11...到0.88...都是除不尽的，加上余数仍然能转化成对应的分数形式