目前的薛定谔方程，最终的描述仍然是牛顿物理量。

设复合波函数y(x，t )的波动方程为
d²y/dx²－(1/c²)d²y /dt²= 0
不妨把上式分解为
.d²y/dx² + k². φ = 0
d²y /dt² + ω².φ = 0
其中，ω² = k².c² 。
当 复合波函数 y(r，t ) 等于 φ(r，t )时，则上式化为
.d²φ/dx² + k². φ = 0
d²φ/dt² + ω².φ = 0
这就是常见的波动方程，它的解很显然为
φ(r，t ) = φ₀ .exp[i ω.(t±r/c )]
但时，当 y(r，t ) 不等于 φ(r，t )时，其解为
y(x，t )=Bx＋bt＋C + φ₀ .xp[i ω.(t±x/c )]
设复合波函数y(x，t )的达朗贝尔方程为
d²y/dx²－(1/c²)d²y /dt² = f(x)
可以移项为下面的形式
【 d²y/dx² - f(x) 】－(1/c²)d²y /dt² = 0
不妨令，【 d²y/dx² - f(x) 】=d²φ/dx² ，则
d²φ/dx²－(1/c²)d²y /dt² = 0
上式不妨分解为
d²φ/dx² + k². g = 0
d²y/dt² + ω².g = 0
即
d²y/dx² - f(x) + k². g = 0
d²y/dt² + ω².g = 0
当y不等于g时，很显然，上面第二式的解
y(t ) = bt＋C + g₀.exp[i ω.(t±x/c )]
很显然，则第一式的解为
y(x ) = －∮∮ f(x) ds＋Bx＋C +g₀ .exp[i ω.(t±r/c)]
当y等于g时，
d²y/dx² - f(x) + k². y = 0
d²y/dt² + ω².y = 0
第二项显然为
y(t ) = y₀.exp[i ω.(t±x/c )]
很显然，上面第一式的解就有点复杂了。

设复合波函数y(x，t )的波动方程为
d²y/dx² － (1/c²)d² w /dt²= 0
当 复合波函数 y(r，t ) = w(r，t )时，则有
d²y/dx² － (1/c²)d² y /dt²= 0
令A = k². g = ω²/c². g ，不妨把上式分解为
.d²y/dx² + k². g = 0
d² y /dt² + ω².g = 0
其中，ω² = k².c² 。
当 复合波函数 y(r，t ) = g(r，t )时，它的解很显然为
y(x，t ) =g(r，t ) = g₀ .exp[i ω.(t±r/c )]
当 y(r，t ) 不等于 g(r，t )时，其解为
y(x，t ) = Bx＋bt＋C + g₀.xp[i ω.(t±x/c )]
当复合波函数 y(r，t ) 不等于 w(r，t )时，则有
.d²y/dx² + k². g = 0
d² w /dt² + ω².g = 0
不妨令
d²y/dx² =d²φ/dx² - f(x)
d²w/dt² =d²φ/dt² - f(t)
则有
d²φ/dx² - f(x) + k². g = 0
d²φ/dt² - f(t) + ω².g = 0
当复合波函数φ不等于g时，很显然，上式的解为
φ(x ) = ∫ ∫f(x) ds＋Bx＋C + φ₀ .exp[i k.r]
φ(t ) = ∫ ∫f(t) dtdt＋bt＋c + φ₀ .exp[i ω.t]
当复合波函数φ等于g时，上面的方程化为如下常见的形式
d²φ/dx² - f(x) + k². φ = 0
d²φ/dt² - f(t) + ω².φ = 0
上面其实就是二阶常系数非线性微分方程，很容易求解。

▽²φ ＋ ∂ B/∂t = －ρ/ε
它又可以表示为
▽²φ ＋ ∂ (▽×A )/∂t = －ρ/ε
上面这个方程在电磁场理论中有相似的描述，它的表达式为
▽²φ ＋ ∂ (▽. A)/∂t = －ρ/ε
很显然，在这个方程的产生过程中，它们的数学物理意义都不同。

对波尔量子理论的一点个人看法
波尔理论三个假设：
第一假设是“原子定态假设”
玻尔原子理论认为，原子只能处于一系列不连续的能量状态中。而且在这些状态中，电子虽做变速运动，但并不向外辐射电磁波（即处于能量守恒的稳态），这样的相对稳定的状态称为定态（补充一下，对于原子来说，电子所处的定态是有很多个的）。
第二假设是“电子跃迁假设”
玻尔原子理论认为，电子绕核转动处于定态时不辐射电磁波，但电子在两个不同定态间发生跃迁时，却要辐射（吸收）电磁波（光子）；其需要的能量及外界光的频率（或者向外界释放的光的频率）由两个定态的能量差值决定hv=E2-E1。
第三假设是“轨道量子化假设”
由于能量状态的不连续，因此电子绕核转动的轨道半径也不能任意取值，玻尔原子理论认为在某个半径下的运动，原子的能量（和半径的大小）只能取到固定的若干个数值。
上面这个假设似乎没有涉及到时空的本质，我在波尔假设的基础上，提出时空的量子化假设，然后来推导一遍。
设时空是量子化的，则有
dr=ndr₀
dt=ndt₀
u=dr/dt=ndr₀/ndt₀=dr₀/dt₀
角动量L=nh
.........................................................................................1式
假设质量为m₀的自由粒子的运动来自于能量场的作用，那么，它所表现出来的作用力F为
F＝m₀.(a +u²/r )
它的运动轨迹是一条曲线
核外电子动体的加速度a取决于粒子速度u的大小，所以
m₀a=m₀.u²/r - ke²/r²
对上式积分，得
m₀.u²/2 = - L²/2m₀.r² + ke²/r
因此，核外运动电子的总能量E为
E=m₀.u²/2 + L²/2m₀.r² - ke²/r
.........................................................................................2式
在外磁场B中，其总能量E为
E=m₀.u²/2 + L²/2m₀.r² - ke²/r ± eBL/m₀
.........................................................................................3式
把1式代入3式中，eBL/m₀=eBh/m₀得
E=m₀.u²/2 + h²/2m₀.r₀² - ke²/r ± eB.h/m₀
.........................................................................................4式
如果粒子处于定态，则 m₀a=0，有
m₀.u²/r - ke²/r²=0
所以
r =L²/m₀.ke²
代入时空量子化条件，有
r =n²h²/m₀.ke²
即
r₀ =nh²/m₀.ke²
.........................................................................................5式
把5式代入4式中，整理后得
E=m₀.u²/2－m₀.(ke²)² /2n².h² ± eB.h/m₀
.........................................................................................6式
上式第一项表示核外运动电子的动能量m₀.u²/2是一个不变值，处于波尔理论的定态假设之中。第二项表示核外运动电子的量子化向心势能量值，每一次向心势能量的变化都是量子化的，表示波尔理论的能量跃迁假设，第三项表示核外运动电子处于外磁场B中的约束能量值，在经典量子理论中解释为运动电子的自旋能量。
令u=ke² /h，则有
E=【m₀.(ke²)² /2h²】 （1 - 1/n²） ± eB.h/m₀
.........................................................................................7式
这就是氢原子核外运动单电子的牛顿能量系统的表达式。

对于简谐振动，作用振子上的作用力f为
f=K.X
它的动能E为
E＝∫fdX＝K.X²/2
假设振动谐振子动能势能E为
E＝m.u²/2＝m.ω²X²/2
两相比较，显然，有
K＝m.ω²
很显然，能量E对X的微分表达式为
d²E/dx² = K
又在简谐振动中，振动位移X可以表示为
X(r，t ) = X₀ [sin (ω.t±ω.r/c )＋cos(ω.t±ω.r/c )]
其中r≤x，c为波速。
由于时间轴与X轴相差九十度角，假设时空轴是对称的，所以，可设
X(r，t ) = X₀ [sin (ω.t)＋cos(k.r)]
或
X(r，t ) = X₀ [sin (k.r)＋cos(ω.t)]
其中ω²= c².k²。
u=dX/dt = ωX
a=du/dt=ω²X = u²/X
谐振子的向心势能量V为
V＝∫fdX＝m∫(u²/X)dX＝- L²/2m.X² ＝－m.ω²X²/2
假设谐振子不仅存在动能，还存在势能，所以，可以假设
d²E/dx² － K = d²H/dx²
把 d²H/dt² ＝c². d²H/dx² 代入上式，得
d²E/dx² －（1/c²）d²H/dt² = K
可以把上式分解为
d²E/dx² + k².g = K
d²H/dt² + ω²g = 0
其中ω²= c².k²。
因此，上面方程的解为
E(r) = K.X²/2＋∮Fdr＋g₀ .exp[±i k.r]
H(t ) = ∮Pdt＋ g₀ .exp[±i ω.t]
我们知道， K.X²/2是一个最小量子值，跟量子数无关。可设
K.X²/2 =h.ω/2
∮FdX= n h.ω
因此，E(r) 的能量子本征值为
E(r) = ( n＋ 1/2)h.ω＋g₀ .exp[±i 2nπ]
E(t) = n.h.ω＋g₀ .exp[±i 2nπ]
这就是谐振子的能量本征值。

设复合波函数的波动方程
d²y/dx² － (1/c²)d² w /dt²= 0
当 复合波函数 y(r，t ) = w(r，t )时，则
d²y/dx² － (1/c²)d² y /dt²= 0
或
d²w/dx² － (1/c²)d²w /dt²= 0
令A = -k². g = -ω²/c². g ，不妨把上式分解为
.d²y/dx² + k². g = 0
d² w /dt² + ω².g = 0
其中，ω² = k².c² 。
当 复合波函数 y(r，t ) =w(r，t ) = g(r，t )时，很显然，它的解为
y(x，t )=w(r，t ) =g(r，t ) = g₀ .exp[i ω.(t±r/c )]
当 y(r，t )或 w(r，t )不等于 g(r，t )时，其解为
y(x) = Bx＋C + g₀.xp[i ω.(t±x/c )]
w(t ) = bt＋C + g₀.xp[i ω.(t±x/c )]
当复合波函数 y(r，t ) 不等于 w(r，t )时，则有
.d²y/dx² + k². g = 0
d² w /dt² + ω².g = 0
不妨令
d²y/dx² =d²φ/dx² - f(x)
d²w/dt² =d²Ψ/dt² - f(t)
则有
d²φ/dx² - f(x) + k². g = 0
d²Ψ/dt² - f(t) + ω².g = 0
当复合波函数φ不等于g时，很显然，上式的解为
φ(x ) = ∫ ∫f(x) ds＋Bx＋C + g₀ .exp[i k.r]
Ψ(t ) = ∫ ∫f(t) dtdt＋bt＋c + g₀ .exp[i ω.t]
当复合波函数φ等于g时，上面的方程化为如下常见的形式
d²φ/dx² - f(x) + k². φ = 0
d²Ψ/dt² - f(t) + ω².Ψ = 0
上面其实就是二阶常系数非线性微分方程，参考教科书，很容易求解。
实际上，这就是广义的波动方程以及广义的波函数。

如果不能自己创造出一套数学方法，根本就不应该去研究理论物理。
因为人家走过的路，不会再有路留给你走。

引力场方程
不妨假设自由粒子静止质量为m₀的能量场M(r，t )的自由运动方程为
▽² M－ (1/c2)∂² M /∂t²= － g
.................................................................................10式
g是自由粒子m₀的质量场强度，所以，上式也可理解为质量场引力场方程。它的一般数学解为
M(r，t ) = －∮ g.ds＋f × r＋∮F.dr＋∮P.dt＋W₀ .exp[i ω.(t±r/c)]
其中F、f、P为积分常矢。从上式可以看出，能量场可以分两部分，一部分是跟静止质量有关的能量场，另一部分是跟波动质量有关的量子化能量场。不管是机械波，光波，声波，其波函数所表示的物理量都可以是量子化的，由此可以看到，物质波函数的物理意义也并不是唯一确定的。复合粒子能量场M(r，t ) 等动体具有波粒二象性。
因此，自由粒子m₀的运动速度u为
u =(1－∮g.ds/|M|)c=(1－m0.c²/|M|)c
当∂² M/∂t²= 0时，上式化为
▽²M = － g
上式可理解为牛顿引力场方程。如果考虑到能量场函数M(r，t )的复合性，令M(r) =M₀(r)＋W(r)上式可以分解为
▽² M₀ = － g
▽× (▽× W) = 0
考虑到静止质量场M₀的独立性，上面第一式的特解为
M₀ (r ) = －∮g.ds = m₀.c²
第二式的特解为
W (r) =f × ∮dr
上式与力矩的物理作用相同，其中f为积分常矢，所以
M (r) = m₀.c²＋f × ∮dr
上式第二项是旋量表达式，对于静止质量m₀而言，它的周围可以存在一个带旋度的能量场，任何处于力场f中的质量体都能受到这个力f的作用。在原子核内，力场f 对其它粒子作用表现的最明显。
当g=0时，10式化为
▽² M － (1/c2)∂² M /∂t²= 0
上式可理解为光的能量场波动方场，其一般特解为
M(r，t ) = ∮F.dr＋∮P.dt＋W₀ .exp[i ω.(t±r/c)]
其中F、P都是积分常矢。在一个波长和周期的积分上下限中，有
∮F.dr=∮(p×ω).dr=p.c
∮P.dt=∮(d²h/dt²).dt=dh/dt=h.ω
因此，在r轴上，光波函数M(r) 的特解为
M(r)= p.c＋W₀.exp(±i k.r)
在t轴上，光波函数M(t)的特解为
M(t)= h.ω＋W₀.exp(±iω.t)
由上式的方程解可知，在欧氏空间中，光沿着任意直线传播。在r —t轴上，光波具有偏振的物理特性。
从光波动方程的解可以看出来，光是一种量子化的波，它不具有粒子性。
从这个引力场方程可以看到，黑洞的产生跟引力场强度无关，只跟物质场的波函数特性有关。
物质波函数（波动的能量场）同时也反映了暗物质能量场或引力波的存在，它导致了处于引力波能量场中的物质产生了量子化物理特性。

写了这么多一大堆东西也不过就是一直在证明当初二十年前的一个假设。
X = M= M₀+ P/c
这是复合质能量的关系式。
看了狭义相对论，用坐标系来描述，看了电磁场，用矢量来表达，解出了达朗贝尔方程，用广义波函数来表达，仅此而已。
幸好不会张量分析，群论理论，否则会用张量、群论等工具来描述的。

一直想放下，但就是放不下，心烦气躁的时候，就推导数学公式，然后就平静下来了，似乎这已经刻在骨子里，融进灵魂里，生命的活力总要分一部分在其中。不管有没有意义，有没有收获，就如系统里的自动运转。

前面已经说过，自由粒子m₀的运动方程为
▽² M－ (1/c2)∂² M /∂t²= － g
上式最一般的特解为
M(r，t ) = m₀.c²＋W₀ .exp[i ω.(t±r/c)]
毫无疑问，上式反映了自由粒子m₀的波粒二象性。
如果观测粒子的牛顿物理量，它就成了牛顿粒子，观测粒子的波动性，它就成了波粒子。当它表现为牛顿粒子物理性质的时候，就是传说中的量子塌缩。

由于自由粒子的速度u为
u =(1－∮g.ds/|M|)c=(1－m₀.c²/|M|)c
那么，它的牛顿动能E为
E = m₀.u²/2
很显然，牛顿动能量m₀.u²/2与动体的场能量W₀.exp[i ω.(t±r/c)] 不是一个物理性质。

▽² M－ (1/c2)∂² M /∂t²= － g
其实这个方程不仅能描述宏观引力效应，同样也能描述微观引力效应。
同时也包含了引力波的数学物理意义，剩下的就是验证它。
至于怎么验证，目前的物理技术条件是达不到的。
至于对它展开进一步的讨论，水平有限，只能仅限于初高中范围。有兴趣的可去图书馆找一找郑铨研究员写的《近代物理学问题：相对论质疑》这本书看看，相信会有一点收获。
这个方程当时在08年左右就猜出来了，只是没有从数学上解出来了，自然找不到它的物理意义，所以，后来又放弃了。