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这题看起来不是很难嘛（确信）

膜三叔叔

不感兴趣

开通SVIP免广告

构造相似，然后有个牛顿线

哇静神出来了

吓得我只敢隔着两层楼膜

各位好，好久不见！
因为我硕士要毕业了，一直比较忙，做几何的时间越来越少，这次难得稍微花了点时间做了一下，趁着还没忘，赶紧记录一下，顺便给各位做个参考。
这个题是前一阵群里的朋友给我的，希望我能做一下。刚看见的时候我也有点懵，这个题还是有点复杂的，当晚花了一个晚上的时间，虽然路线还比较明确，但是卡在了一个地方（后面会讲到），就放在一边了。昨天有人问了我两个不太难的几何题，我趁着状态不错，又想起这个遗留问题。果然状态好的时候还是有一点战斗力的，花了一个晚上（算上深夜），解决了这个问题。以下是一些关键的步骤：
（1）构造相似

要证的是四线共点，不管是要角元Ceva还是利用相似，交比之类的手法，像∠LKZ,∠NMZ这样的角就显得非常重要。另外也是基于消点的思想，让这些角出现在更合理的地方是必要的处理。所以第一步，构造点K‘，使得LYKZ∽ABK'C.类似地，构造M',P',容易发现P'，M'，K'共线。我认为这一步是自然的。但我第一个晚上的思路也到此为止。关键的步骤，比如判定方式，以及莱莫恩线的性质都还不知道该怎么处理。
（2）关键的牛顿线

之所以会卡住，主要原因是要证的结构里，需要把像∠AK'C,∠CP'A这样的角结合在一起，或者可以有办法处理他们的正弦。但事实上是都不容易。昨晚重新看这题，我发现AK',BM',CP'这三条线恰是完全四边形AP'BK'M'C的三条对角线，于是我突然想到似乎可以利用牛顿线与几个中位线把想要的角转移到一起。果然正确的思路就会有合理的结果，不仅这个路线是正确的，而且还发现其实牛顿线DEF就是△ABC的外心与共轭重心的所在直线（这一步的证明是不难的，比如可以考虑外心与共轭重心连线交中位线于D,不难证明B'D/C'D=ZK/KY）。这样的话，如果考虑△B'DF，以及W（AK'与CP'的交点）关于它的等角共轭点W'，容易发现有相似形B'DFW'∽HKPJ。所以到这一步后，就只需要去研究B'W这条直线。
（3）关于B'W

其实到这一步已经不难了。，只需证明∠AHO=180-∠A'B'W，∠CHO=∠C'B'W。这一步可以考虑线束交比(B'A,B'C,B'W,B'A')，不难得到sin∠A'B'W/sin∠C'B'W。所以至此，OH,KL,PQ三线共点，并进一步有四线共点！
稍微熟悉我的朋友可能会发现，我的思路特别注重结构，尤其是像比例，角度这样的基本信息，所以我的一些解答里会经常有构造相似形的手法，这一题又是故技重施。当然我也很期待看到其他方法，特别是现在好像吧里的很强的朋友有好多，经常有各种各样的奇思妙想，天外飞仙，我这样的老人可能也就只能谈谈经验了。希望可以给朋友们做个参考。