求助一道没搞明白的老问题：两个红包的悖论

没有悖论存在。
之所以出现“悖论“，完全是因为计算方法犯了张冠李戴的错误。
原因与下面这个老掉牙的智力题是一样的：
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3位旅客住旅店。住宿费每人10元，3位旅客每人缴费10元，共缴费30元。
老板搞优惠，拿出5元让服务员退给旅客。服务员贪污2元，只退给旅客每人1元。
每人退回1元，即每人只交了9元，再加上服务员贪污的2元，一共是3*9+2=29元。
但明明是30元整，少的1元去哪儿了呢？
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unkownwalker说到点子了，原题中的数学期望的计算是完全错误荒谬的。对于多次可重复实验，比如两个红包每次都是x和2x，多次选择之后数学期望是0.5x+0.5*2x=1.5x，原题中的0.5*(x/2)+0.5*2x=1.25x完全是没有来由的。错误的应用数学期望概念产生了所谓的悖论

说到悖论，其实，“悖论”的情况无非有三种。
第一种悖论之所以成为悖论，
是因为悖论所讨论的问题超越了人类的现有认知范围。
人类无法根据现有的知识去理解和圆满地阐述该问题，
以至于陷入困惑不解。
这种悖论，似乎可以算作真正的悖论。
这种悖论有待于人类知识继续向广度和深度发展来解决。
例如从经典物理学到相对论（包括量子理论）的出现，
解决了以前无法解释的诸多物理现象。
第二种悖论之所以成为“悖论”，
来自于民科中因知识不足所造成的误解和困惑，
或者来自于一些人的搞笑娱乐。
当然，也有一些是以“悖论”形式出现的习题,
目的是通过从“悖”到“不悖”，从而学到知识。
这种“悖论”，典型的有“乌龟永远追不上兔子”、
"圆周率等于4"、“全体自然数之和等于-1/12”，等等。
第三种悖论之所以成为“悖论”，介乎于前两种悖论之间。
这种“悖论”是研究深度尚不足够的情况下的暂时现象，
继续研究后，自然就不再是“悖论”了。
这种“悖论”也多的不胜枚举。
下面就是第三种悖论一个例子：
【问题】
在圆中随机画一条弦，其长度不大于半径R的概率是多少。
【解法一】
所有的弦都与圆周有两个交点。
不妨假定这条弦的起点在圆周的A点。
以A点为圆心画半径为R的圆弧，交圆周与B、C两点，
如果弦的终点落入劣弧BAC区间内时，弦长小于R。
如果弦的终点落入优弧BC区间内时，弦长大于R。
所以：所求概率 = 劣弧BAC长度/圆周长度 = 1/3。

【解法二】
所有的弦的中点都与一个与圆同心的小圆相切。
当弦长等于半径时，这个小圆的半径为 r = (√3/2)R。
如果弦的中点落入这个小圆外，弦长小于R。
如果弦的中点落入这个小圆内，弦长大于R。
所以：所求概率 = 大小圆周之间的圆环面积/大圆面积 = 1/4。

于是，“悖论”出现了！

关键是“在圆中随机画条弦”的意义是什么。解法一认为“在圆中随机画条弦”等价于“在圆周上随机选2个点”，解法二认为“在圆中随机画条弦”等价于“在圆内随机选1个点”。

在圆周上随机选2个点，连接这两点得到“随机弦”，弦长不大于半径的概率用解法一。在圆内随机选1个点，做过该点的半径，再过该点做半径的垂线交圆周得到“随机弦”，弦长不大于半径的概率用解法二