关于K理论的定义就不多说了。考虑环A（不必交换），定义其K理论群为：K_0(A)为 A的有限生成投射A-模的同构类构成的幺半群 的Grothendieck完备化。K_n(A)为 A的无穷维一般线性群GL(A)的 分类空间 BGL(A)，取Quillen +-construction，然后取n维同伦群。
名词不做解释

怎么算这个呢？Quillen自己算出了char p域的结果，但是一般算还是开问题（包括K_n(Z)），且经常花很多paper才能算个初等结果。所以需要有新方法。这里我们可以考虑Dennis trace。记A为一个R-代数，R为一个交换环。Dennis trace把K_n(A)打到HH_n(A)，后面这个是Hochschild同调。这个trace 可以有一个中间映射打到HC_n^-(A)或者HC_n(A)（分别称为negative topological cyclic homology和 topological cyclic homology），它们分别定义为A的Hochschild复形和Z在R下的Ext和Tor群。Goodwillie说明了，当取幂零扩张f: B \to A的时候，我们有HC_n^-(f \otimes Q)同构于K_n(f) \otimes Q，\otimes代表张量积，Q是有理数。

这套思想有个拓扑方向的类比。EKMM书上发展了一套brave new algebra，用以说明这个东西。简言之，就是上面的Dennis trace中，我们把Hochschild同调换成拓扑Hochschild同调（THH），把A换成A的Eilenberg-MacLane spectrum，张量积换成楔积，etc...
留意到THH是一个cyclotomic spectrum，它有个自然的S^1-作用，所以我们联系到等变稳定同伦论上面。取它的C_p^n-不动点。由于在几何不动点和不动点之间有个映射，可以由此导出THH的C_p^n-不动点到C_p^(n-1)-不动点之间的映射R。不动点之间也有内射关系，这导出的映射记为F。这构成2个system，分别取它的同伦极限，得到TR(A)和TF(A)。则topological cyclic homology TC(A)就定义为F-id: TR \to TR或者R-id: TF \to TF这两个映射其一的同伦纤维。McCarthy证明了 当取幂零扩张f: B \to A的时候，在对任意素数p进行p-进完备化后，我们有K(f)同构于TC(f)。

当然在考虑同伦不动点之后，我们有一套新的工具（很方便的谱序列）来计算，不过这里要讲的太多了，下次再讲。
还有种approch来自Hill、Hopkins等人，通过考虑norm functor，暂略。
可以参考我在知乎上的科普：（共3篇）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/158982392
https://zhuanlan.zhihu.com/p/159102406
https://zhuanlan.zhihu.com/p/162045348
实际上还是有不少错误的，尤其是现在回头看看感觉尤甚= =