别让楼主太寂寞

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果然没人吗？题是难了点

sin∠BCD≤BD/BC=√3/2，∠BCD最大60°，问题转化为求一个角为60°，斜边为4的直角三角形的内接正三角形的最小值，AB上取点E连CE，作正三角形CEF，点F在A关于BC的另一边，连接AF交BC于点P，过P作PM∥CF交AC于点M，作PN∥EF交AB于点N，连接PM,PN,MN，则△PMN为△ABC的内接正三边形，S△PMN/S△FCE=(MN/CE)²=(AP/AF)²
以点A为原点，AB所在直线为x轴作平面直角坐标系，易知C(1,√3)设E(m,0)，m∈（0,4）,则点F为点E绕点C逆时针旋转60°的点，根据点旋转公式：
对任意点(x,y)，绕一个坐标点(rx0,ry0)逆时针旋转a角度后的新的坐标设为(x0, y0)，则： x0= (x - rx0)*cos(a) - (y - ry0)*sin(a) + rx0 ;y0= (x - rx0)*sin(a) + (y - ry0)*cos(a) + ry0
可得F（m/2+2,√3m/2）,则点P((m+4)/(m+1),√3m/(m+1))
则AP/AF=[√3m/(m+1)]/(√3m/2)=2/(m+1),而S△FCE=√3/4*CE²=[3+(m-1)²]*√3/4
所以S△PMN=(AP/AF)²*S△FCE=(m²-2m+4)/(m+1)²*√3
求导令导数为0可得m∈(0,5/2）时单调递减，m∈(5/2,4），则m=5/2时取得最小值，S△PMNmin=21√3/49

不会

你说的这个妹妹，到底是不是。。