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x=y=0带入得到f(0)=0, 在0可导得到f(h)/h当h->0极限存在
y=-x 带入得到f(x)=-f(-x)
然后f(x+h)-f(x)=f(x+h)+f(-x)带入条件等于
f(h/(1+x^2+xh))
u=h/(1+x^2+xh) 所以h=u*(1+x^2+xh)
当h趋向于0 u也趋向于0
所欲(f(x+h)-f(x))/h=f(u)/h=f(u)/u *1/(1+x^2+xh)
当h趋向于0 u趋向于0所以f(u)/u的极限是f’(0) 后面1/(1+x^2+xh)趋向于1/(1+x^2)
所以(f(x+h)-f(x))/h极限存在 且为f’(0)/(1+x^2) 所以f在任意x都可导 且导数为f’(0)/(1+x^2) 后面就很明显f(x)=f’(0)arctanx
y=-x 带入得到f(x)=-f(-x)
然后f(x+h)-f(x)=f(x+h)+f(-x)带入条件等于
f(h/(1+x^2+xh))
u=h/(1+x^2+xh) 所以h=u*(1+x^2+xh)
当h趋向于0 u也趋向于0
所欲(f(x+h)-f(x))/h=f(u)/h=f(u)/u *1/(1+x^2+xh)
当h趋向于0 u趋向于0所以f(u)/u的极限是f’(0) 后面1/(1+x^2+xh)趋向于1/(1+x^2)
所以(f(x+h)-f(x))/h极限存在 且为f’(0)/(1+x^2) 所以f在任意x都可导 且导数为f’(0)/(1+x^2) 后面就很明显f(x)=f’(0)arctanx
