因为对于光滑流形而言，它的坐标同胚映射f是光滑的，可以通过f的逆将定理1.13用到流形上

有一个定理，n维流形可以嵌入(embed)到欧式空间R^q里面，取足够大的q（q实际上只要大于2n就够大了）。这时候你要证明嵌入就是把紧集映射到紧集，闭集映射到闭集。然后就用欧式空间的定理就可以了。
嵌入是满秩的映射，而且流形和它在R^q里的象同构。这时流形变成了R^q中的子流形（这就是要用rank theorem的地方）。通过子拓扑的定义可以证明，嵌入以后，紧集还是紧的，闭的还是闭的