向量组等价的证明

同济线代第六版教材第四章习题19。按照答案的方法三句话就证明了。但我想请问这题如果用向量组等价的三秩相等充要条件（R(A) = R(B) = R([A B])）该如何证明，我现在只能证明A与B的秩相等，因为A等于B乘可逆矩阵（列满秩矩阵）