回复：3002【根轴IG】

在去年准备联赛的时候做的，当时找同学要几何题同学给了我这个，我看了一下觉得重心坐标应该好算，就算了一下算出来了，给那个同学说，他告诉我这是纯几何吧镇吧神题，叫我写过程发上去。当时我觉得我计算方法还挺快发上去可能有点挑衅就没发。
现在在做集训队作业的时候正好写了这道题，就拍上来。

初等方法（虽然T神的引理证明过程好像不初等，但不管了）
希望Part 1有更漂亮的做法

证明见图片，比楼上的Part1计算简单一点，证明中仅涉及圆幂和简单的三边运算，分为I和G在根轴上两部分；当时因为有运算不好意思发到吧里，我的证明最初发布在这个公众号网页链接 萌新第一次回帖请多多指教

关于定根轴的一个刻画

故地重游

OI上点推广的证明

平面内任意点推广的证明

根轴ig证明
给出了根轴的完整刻画，理论上能解决所有OI上点的根轴问题

先做个预告，想开个三线坐标的专题

本楼只负责证明5楼的结论2：
将贝文点换成OI上任何一点，使d变化时，根轴不变。
实际上，这个结论几乎只依赖“D1E1F1 和 D2E2F2面积相等”，即29楼末尾提到的漂亮巧合。本楼会说明这一点。
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先介绍来自猫神的超强爆算圆幂引理（的向量形式）：圆幂可以表示为一些向量计算后除以面积的两倍。

然后先证明那两个三角形面积相等。这样分母可以约掉。

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最后回到原题，说明 圆幂之差 * 三角形面积 = d的正比例函数

顺便附上一个44楼提到的“D1E1F1和D2E2F2面积相等”的几何证明。这个证明主要用到近欧里密克点的结构，也是本题（3002）的初等几何方法主要会用到的辅助线。