把测地线方程的等效重力加速度项，和右边那堆含克氏符的东西，写在等号两边
做牛顿近似，在r方向上，右边就只剩克氏符第一分项乘以光速平方
这个结果，在地面附近，就是9.8m/s^2

这是一个计算星体外部史瓦西时空的具体例子。至于你说的一般是类时killing矢量场，同样的方法计算就行啦。里边也说啦。牛顿时空加速度是个空间内禀量。放到GR时空，显然不存在加速度的说法，。。。但是④加速确实又是一个空间矢量，同样可以认为是内禀的，和牛顿的相互对应。

答：
1 在牛顿近似下，你说的结果是正确的。
2 考虑高阶效应，这个说法不正确。
首先，牛顿近似指的是广义相对论在弱场缓变近似下，最低阶近似的情况。此时，取度规的00分量为引力势，可以得到三加速度即引力势的负梯度。
但是，一旦考虑的近似的阶数高一阶，那么此时，三维加速度的形式就不会只有速度无关部分，还包括一个速度相关项。得到的加速度在这一阶近似的情况会非常像洛伦兹力，即可以分解为电场力项与速度与“磁感应强度”叉乘的项。这时会表现出广义相对论与牛顿引力的不同。
参考：Wald GR 4.4 Linearized Gravity：The Newtonian Limit and Gravitational Radiation

可以换个角度想这个问题，等效原理。现代的相对论学者大多认可等效原理仅仅在弯曲时空自由下落观者的世界线上成立，一旦偏离世界线，等效原理就挂了（毕竟时空曲率是客观存在的）。从力的角度看，在严格的GR中根本不存在匀强的引力场，也就不会有不变的三加速度。