最近吧里很多人在问关于广义相对论学习的数学基础，总觉得有些人把问题太想复杂了。其实我觉得作为业余爱好者要初步理解GR，只要把张量分析学好就差不多了（当然理解张量分析要具备的数学基础就不说了）。不一定要从数论、拓扑之类的纯数学角度去理解张量，你可以从一般数学分析角度去理解就可以了。这是完全做得到的。如俞允强老师的那本书就是一般数学分析角度，而梁斌灿老师的那本书就是以集合、拓扑为基础开始的。所以俞允强老师的书更容易理解些。
举个例，大家都熟悉的函数连续的概念。
1、按一般数学角度理解就是，对于一个函数y(x),当给定一个任意小量的△x，必然对应一个任意小量的△y。。。
2、按拓扑理解就是，若Y中任一开区间的“逆像”都是X的开区间之并，则可称映射f:X→Y是连续的。。。
如果不是数学、物理专业的学生，肯定是1、好理解一些。因为一般理工科的教育都是数学分析思维的。
数学分析对于数学概念可用图的形式直观地表示出来。
而数论则是把一堆数用很多定义、定理约定后再表示出来，虽然更严谨，能更深入描述物理的实质。但不经过长期地训练，学起来还是很吃力的。
以上，个人观点，权当瞎说。