考虑集合A=｛x|f（x）>x｝的上确界x0，假设f（x0）不等于x0（否则x0满足条件）如果x0属于A，则记B=f（x0）-x0，有B>0，而f（x0+B/2）-（x0+B/2）<0（由x0为A上确界）可以推出f（x0+B/2）小于f（x0）矛盾，同理可推出f（x0）小于x0时不成立（不完全一样，注意上确界不在集合中时A中有趋近于上确界的点列）综上x0满足条件

或者用纯集合论来
设在【0,1】上f（x）的值域是A，显然A包含于【0,1】，也可能不连续。
那么，考虑定义域在A上的f（x）的值域B，显然，B一定也包含在A里，也可能不连续。
接着考虑定义域在B上的f（x）的值域C，则C一定包含在B里……
这样推下去，由于集合逐渐变小，最后至少会缩到一个区间P=【p0，p1】内，定义域为P的f（x）值域也为P（注意这次不是包含，而是就是相等！）。由于f（x）是单调增的，那么就必然有f（p0）=p0，f（p1）=p1。极端情况下也会有p0=p1。