回复：交换积分次序和坐标系变换(含习题)

和上个楼层类似。
坐标系变换。

计算椭圆的面积。

坐标系变换。

坐标系平移。
对称性，轮换对称性。

坐标系平移。
对称性，轮换对称性。

坐标系平移。
对称性。

这里直接使用椭圆极坐标。
也可以坐标变换，令X=x，Y=y*sqrt(2)，转为标准圆，然后用轮换对称性，当然应该是绕远路的做法。

类似15楼和16楼。
雅可比变换。

画区域图。
D1和D2关于y轴对称。
因为1是x偶函数，xy是x奇函数。偶倍奇零。
直接用D2进行计算。

直接画区域图，很容易得到答案。
x和y都大于等于0，所以在第一象限，区域是四分之一的圆。
选C

x的积分不容易计算。
画区域图，更换积分次序。
y的积分容易计算。
最后分部积分。

楼主加油。

有两种解法。
.
第一种解法:
牛顿莱布尼茨公式。
将定积分写成二重积分。
然后更换积分次序。
更换上下限，凑微分，然后换元。
最后求值。
.
第二种解法:
dx改为d(x-1)，然后分部积分。
得到的式子化简后和第一种解法的式子相同。

解法和上个楼层完全一样，两种解法都可以。
这里只给出第一种解法。

求定积分。
首先写成累次积分。
因为x^2<=1，所以先更换上下限。因为二重积分才能交换积分次序，而二重积分强制要求上限大于下限。
画区域图，更换积分次序。
对x积分，然后凑微分，得到答案。