作者 杜车别
1、理学、科举导致衰落论据不足
说起宋代数学，我们可列出一大串：贾宪、杨辉的二项式系数展开，贾宪的特定形式高次方程数值解，刘益的首项系数任意的高次方程数值解，沈括、杨辉的高阶等差级数求和，邵雍的大数运算和六十四卦二进制排序，沈括求弧长公式的会圆术，沈括运用指数法则计算围棋状态总数[1]，朱熹、蔡元定的十进制小数转换九进制小数算法，秦九韶解任意次数的高次方程数值解，秦九韶解一般性一次同余式不定方程的大衍总数术，秦九韶解多元一次线性方程组（解法相当于现在的矩阵变换），秦九韶的三角形三边面积公式[2]，杨辉对组合数学的研究等等。
不仅两宋成果辉煌，南宋晚期的金国统治区内也有值得一提的数学成果，到元初还有不错的成绩。而元中期之后，中国数学急速衰落，一些原先已经取得的成就也失传了。这其中原因何在？
不同人会对此作不同解答，其中有代表性观点是认为程朱理学占据统治地位和科举八股所致。
我个人以为这种观点值得商榷。程朱理学并不反对研究数学，而科举也不会真正阻碍数学发展。朱熹曾经说：
“……，数、是算术。而今人皆不理会。六者（指六艺）皆实用，无一可缺。而今人从头到尾皆无用。小儿子教他做诗对，大来便习举子业，得官又去习启事、杂文，便自称文章之士，然都无用处，所以皆不济事。”[3]
朱子对科举无用之抱怨有失偏颇，我们后面再分析，但这段话至少说明理学并不反对人们研究数学。他自己本人也对一些数学问题有过研究。如其在《蓍卦考误》中对《周易.系辞》里“揲蓍之法”进行了详细的辨析阐释。[4]
董光璧对朱熹阐释的占筮程序进行数学分析，认为其中蕴含的机巧构思实质即“数论中的同余式思想。” 秦九韶的大衍总数术（也被称为“中国剩余定理”）实质也是求解一次同余式，“大衍”这个名词就是从《易经.系辞》“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三”而来。而类似大衍总数术的定理是西方在1801才由高斯给出的。考虑到朱子对筮卦程序的详尽解说，以及南宋后期朱子学的巨大影响力，从兴趣的激发角度而言，很难说秦九韶对这类问题的关注没受到朱熹影响。李约瑟虽未从大衍术角度分析，却也得到秦的数学研究可能受理学影响的结论，他说“很自然，要在秦九韶著作中找到新儒学（即程朱理学）的痕迹是不困难的”[5]。
朱熹另一项值得一提的数学研究是前面提到的十进制小数转换九进制小数算法。《数学辞海第六卷：中国数学史》中说：
“朱熹、蔡元定分别在《周礼》郑玄注、司马迁《史记》律书的基础上给出由三分损益法所得十二律长的十进分数值转换成九进小数值的算法。他们的算法与现代的十进小数换算为九进小数的方法原理相同。这一工作为明代朱载堉的工作奠定了基础。” [6]
这里说到的蔡元定是朱熹的得意门生，建立朱熹理学系统的参与者之一。
从朱子语类看，朱子和其学生讨论的问题并非仅限于实用，还涉及宇宙大小，天地起源，地质构造成因、大陆架范围、星体的形质、人类起源等等问题。而且他也明确说过：
“格物者：格，尽也。须是穷尽事物之理，若是穷得两三分，便未是格物。须是穷尽得到十分，方是格物”。
“格物不独是仁孝慈敬信五者，……凡万物万事之理，皆要穷。”
“上而无极、太极，下而至于一草、一木、一昆虫之微，亦各有理。一书不读，则缺了一书道理；一事不格，则缺了一事道理；一物不格，则缺了一物道理。须着逐一件与他理会过”[7]
显然朱子所谓格物穷理是不限于眼前的，算术自不例外。而理学奠基人之一邵雍搞的研究更非仅囿于实用。邵雍创立的先天六十四卦方圆图实际上是把原先《易经》里的六十四卦按照二进制的大小关系重新排列次序的结果。另外他还发明了一套大数系统。邵雍让六十四卦的每一卦都代表一个数字，比如乾卦代表1，大有卦代表360的1次方，小畜卦代表360的2次方 ，大畜卦代表360的3次方，……以此类推到剥卦代表360的31次方；然后是夬卦代表12，大壮卦代表12×360，需卦代表12×360的2次方 ，……，同样依此类推一直到坤卦12×360的31次方 。
那这些数字究竟有多大呢？
以姤卦为例，1姤=360的16次方=7秭95866110垓99464800京84391936兆[8]
这里的1兆＝1亿亿=10的16次方；1京＝1亿兆=10的24次方；1垓＝1亿京=10的32次方；1秭＝1亿垓=10的40次方。
也即1姤≈7.9586110994648×10的40次方，这大体上同宇宙半径（光速乘以宇宙年龄）与电子半径的比值在一个数量级上。
最大的坤代表的数字，计算一下为2.11134288×10的80次方，相比之下宇宙总质量和氢原子核的质量之比是10的78次方（也有估计是10的80次方）。
再来说科举的问题，确实，连朱子本人都抱怨科举无用。但所谓当局者迷，有些问题当时人看法未必客观。从实际来说，建立科举制后的宋代数学成果是超汉唐的。
即便对明代，八股文本身不过一种应用文训练，起到智力训练和测验作用，谈不上什么禁锢思想。徐有贞、唐顺之、王徵、徐光启等等在参加科举的同时都有大量精力从事其他兴趣，增长其他方面的才能。更何况在明代科举也非独木桥，可以选择的职业道路相当多，类似周蕙、王艮戍卒、盐丁出身，照样成为万人敬仰的学术大师。
某种程度上，科举对促进数学在内众多学术思想进步是有好处的。道理很简单，众多精英知识分子能有更多的机会聚集在一起，交流知识、拓宽眼界、融汇思想，这在交通通信不便利的古代有巨大意义。类似晚明的西学热潮，本身也和众多知识分子参加科举到大城市（如王徵、徐光启），接触到西学，又回乡散播有关。
1、理学、科举导致衰落论据不足
说起宋代数学，我们可列出一大串：贾宪、杨辉的二项式系数展开，贾宪的特定形式高次方程数值解，刘益的首项系数任意的高次方程数值解，沈括、杨辉的高阶等差级数求和，邵雍的大数运算和六十四卦二进制排序，沈括求弧长公式的会圆术，沈括运用指数法则计算围棋状态总数[1]，朱熹、蔡元定的十进制小数转换九进制小数算法，秦九韶解任意次数的高次方程数值解，秦九韶解一般性一次同余式不定方程的大衍总数术，秦九韶解多元一次线性方程组（解法相当于现在的矩阵变换），秦九韶的三角形三边面积公式[2]，杨辉对组合数学的研究等等。
不仅两宋成果辉煌，南宋晚期的金国统治区内也有值得一提的数学成果，到元初还有不错的成绩。而元中期之后，中国数学急速衰落，一些原先已经取得的成就也失传了。这其中原因何在？
不同人会对此作不同解答，其中有代表性观点是认为程朱理学占据统治地位和科举八股所致。
我个人以为这种观点值得商榷。程朱理学并不反对研究数学，而科举也不会真正阻碍数学发展。朱熹曾经说：
“……，数、是算术。而今人皆不理会。六者（指六艺）皆实用，无一可缺。而今人从头到尾皆无用。小儿子教他做诗对，大来便习举子业，得官又去习启事、杂文，便自称文章之士，然都无用处，所以皆不济事。”[3]
朱子对科举无用之抱怨有失偏颇，我们后面再分析，但这段话至少说明理学并不反对人们研究数学。他自己本人也对一些数学问题有过研究。如其在《蓍卦考误》中对《周易.系辞》里“揲蓍之法”进行了详细的辨析阐释。[4]
董光璧对朱熹阐释的占筮程序进行数学分析，认为其中蕴含的机巧构思实质即“数论中的同余式思想。” 秦九韶的大衍总数术（也被称为“中国剩余定理”）实质也是求解一次同余式，“大衍”这个名词就是从《易经.系辞》“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三”而来。而类似大衍总数术的定理是西方在1801才由高斯给出的。考虑到朱子对筮卦程序的详尽解说，以及南宋后期朱子学的巨大影响力，从兴趣的激发角度而言，很难说秦九韶对这类问题的关注没受到朱熹影响。李约瑟虽未从大衍术角度分析，却也得到秦的数学研究可能受理学影响的结论，他说“很自然，要在秦九韶著作中找到新儒学（即程朱理学）的痕迹是不困难的”[5]。
朱熹另一项值得一提的数学研究是前面提到的十进制小数转换九进制小数算法。《数学辞海第六卷：中国数学史》中说：
“朱熹、蔡元定分别在《周礼》郑玄注、司马迁《史记》律书的基础上给出由三分损益法所得十二律长的十进分数值转换成九进小数值的算法。他们的算法与现代的十进小数换算为九进小数的方法原理相同。这一工作为明代朱载堉的工作奠定了基础。” [6]
这里说到的蔡元定是朱熹的得意门生，建立朱熹理学系统的参与者之一。
从朱子语类看，朱子和其学生讨论的问题并非仅限于实用，还涉及宇宙大小，天地起源，地质构造成因、大陆架范围、星体的形质、人类起源等等问题。而且他也明确说过：
“格物者：格，尽也。须是穷尽事物之理，若是穷得两三分，便未是格物。须是穷尽得到十分，方是格物”。
“格物不独是仁孝慈敬信五者，……凡万物万事之理，皆要穷。”
“上而无极、太极，下而至于一草、一木、一昆虫之微，亦各有理。一书不读，则缺了一书道理；一事不格，则缺了一事道理；一物不格，则缺了一物道理。须着逐一件与他理会过”[7]
显然朱子所谓格物穷理是不限于眼前的，算术自不例外。而理学奠基人之一邵雍搞的研究更非仅囿于实用。邵雍创立的先天六十四卦方圆图实际上是把原先《易经》里的六十四卦按照二进制的大小关系重新排列次序的结果。另外他还发明了一套大数系统。邵雍让六十四卦的每一卦都代表一个数字，比如乾卦代表1，大有卦代表360的1次方，小畜卦代表360的2次方 ，大畜卦代表360的3次方，……以此类推到剥卦代表360的31次方；然后是夬卦代表12，大壮卦代表12×360，需卦代表12×360的2次方 ，……，同样依此类推一直到坤卦12×360的31次方 。
那这些数字究竟有多大呢？
以姤卦为例，1姤=360的16次方=7秭95866110垓99464800京84391936兆[8]
这里的1兆＝1亿亿=10的16次方；1京＝1亿兆=10的24次方；1垓＝1亿京=10的32次方；1秭＝1亿垓=10的40次方。
也即1姤≈7.9586110994648×10的40次方，这大体上同宇宙半径（光速乘以宇宙年龄）与电子半径的比值在一个数量级上。
最大的坤代表的数字，计算一下为2.11134288×10的80次方，相比之下宇宙总质量和氢原子核的质量之比是10的78次方（也有估计是10的80次方）。
再来说科举的问题，确实，连朱子本人都抱怨科举无用。但所谓当局者迷，有些问题当时人看法未必客观。从实际来说，建立科举制后的宋代数学成果是超汉唐的。
即便对明代，八股文本身不过一种应用文训练，起到智力训练和测验作用，谈不上什么禁锢思想。徐有贞、唐顺之、王徵、徐光启等等在参加科举的同时都有大量精力从事其他兴趣，增长其他方面的才能。更何况在明代科举也非独木桥，可以选择的职业道路相当多，类似周蕙、王艮戍卒、盐丁出身，照样成为万人敬仰的学术大师。
某种程度上，科举对促进数学在内众多学术思想进步是有好处的。道理很简单，众多精英知识分子能有更多的机会聚集在一起，交流知识、拓宽眼界、融汇思想，这在交通通信不便利的古代有巨大意义。类似晚明的西学热潮，本身也和众多知识分子参加科举到大城市（如王徵、徐光启），接触到西学，又回乡散播有关。
