假设此最大公约数不为1，取设素数q为其的因子，那么q|a+b可得到a≡-b（mod q），那么（a^p+b^p）/（a+b）=a^（p-1）-a^（p-2）b+...+b^(p-1)≡a^（p-1）-a^（p-2）×（-a）+...+(-a)^(p-1)≡pa^(p-1)（modq），所以q|pa^（p-1），那么q|p或q|a，若q|a，那么b=（a+b）-a也是q的倍数，与ab互素矛盾，所以q|p，只能是q=p

所以最大公约数只能是p^c形式，其中c≥1，类似可得到p^c|pa^（p-1），只能是c=1