楼猪噶油加油

9.巴拿赫-塔斯基悖论
既然信封悖论提到了选择公理，正好就把这个悖论拿出来说一说。巴拿赫-塔斯基悖论又称分球悖论，该悖论在1924年由 斯特凡·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基共同提出。虽然我申明不会收录专业性太强的悖论，但巴拿赫悖论有意思之处在于虽然其理论推导需要较强的专业知识，但其结果的反常性却很容易看出来。
巴拿赫-塔斯基悖论简单地说，就是可以将一个三维实心球分成若干部分（至少五个），然后仅仅利用旋转和平移来重新组合，就可以组成两个和原来体积相同的实心球。
令人惊讶的是，尽管看上去有悖于事实，但大部分数学家都同意分球悖论在逻辑上是可以成立的，也就是实际上这是一条数学定理而非悖论。不过值得一提的是，分球悖论依赖于公理集合论中的一条“选择公理”，因为只有依靠这条公理才能够构造出不可测集。而划分实心球的方法其实也就是将其划分为不可测集。
所谓不可测集，即无法用勒贝格测度定义的集合。勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法，利用这种方法可以决定大部分集合在几何上的“大小”。然而有意思的是，通过选择公理可以构造出不可测的集合，这些集合拥有无法判定其测度的奇妙性质。任意一个可测集，在三维空间中旋转和平移不会改变其体积，然而对不可测集则未必。
传说巴拿赫和塔斯基提出这个悖论是为了反对选择公理，因为其实“非构造性的”。对于直觉主义者来说，选择公理充满了不确定性，很多数学家对此持怀疑态度。然而否定选择公理意味着放弃很多具有重要意义的定理，甚至会导致更加有悖于直觉的结论，因此数学界普遍选择接纳选择公理，并把分球论视为一条定理。
既然如此为何我们现实中无法实现巴塔悖论所预言的体积倍增？主流的解释是物质是不能无限可分的，我们的物理能力无法完成数学绝对意义上的不可测集构造，“无限”再次成为了悖论的根源。从此我们可以看出数学作为一门工具学科，其本质是假定的一种绝对理想的状态，它与现实存在着微妙的差异，而也许正是这个差异导致了分球悖论。但很多人仍不能回避选择公理所带来的困惑，它引发了数学定理与直觉之间的裂痕，而这也导致人们在使用它时都极为谨慎。

其实很多道德悖论可以搜集一下，也很容易懂

来写一层双信封悖论，是现实不可实现导致的矛盾，我们现在已知的是有且只有两个信封，且知道一个信封的钱是另一个信封中的钱的两倍，而且现实中信封里的钱是定下来了的，只是我们并不知道是多少，不妨设X和2X。
我们拿到一个信封发现里面装着假设Y元，但是我们并不知道这个Y是X还是2X，关键的地方来了，我们觉得可以假设50%另一个信封里面装着2Y元，50%另一个信封里面装着0.5Y元，但实际上信封里面的钱装进去了就不会变了，我们想完成这件事只有，现在这里另外还有两个信封，一个里面装着2Y，一个里面装着0.5Y，问你换不换。这样就会出现第三个信封，与题设两个信封不符。

双信封悖论
可以建立两种模型
1、仅有一组双信封，里面钱的比例是1：2，你选择了一个信封，是否交换。这时，你简单的说，交不交换都一样。（其实这说法不准确，原因等下说）
2、有无数组双信封，每组信封内钱的比例是1：2，你选择了某组中的某个信封，你是否交换。楼主已经对该模型进行了说明。不能保证每组都是等概率事件。
而双信封悖论，一般都是针对第二个模型，那么，只要说明第二个模型中，悖论的错误，就貌似解决了该悖论。
那么不考虑第二个模型，仅看第一个模型，简单的换或不换并不是最优办法。
记第一个模型中，看到的钱是x，那么设函数f(x)，使得f(x)只能取值在0到1间，且是单调减函数。那么f(x)概率换，1-f(x)概率不换。
f(x)具体是哪个函数最优，无法知道。但是，f(x)保证了一件事，如果我看到的钱数越少，则换的概率越大。
那么，也就可以认为，在模型一中，是有策略，能使得双方都认为自己能获利。悖论中最初的“双人赌局不可能对双方都有利”矛盾了？

楼上的可以看成是双信封的一个变型
有两个信封，其中各有一个大于0的不等的实数。甲乙两人各取一个信封，在其看了信封内的数字后，有一次换的机会。当然也可以选择不换。最后两人比较信封中数字的大小，数字大的赢1元，数字小的输1元。
那么，如果只是简单的一定换或一定不换，都很容易得到，期望收益是0元。
假设甲看见的是x，取函数f(x)=1/（1+x），（说明下，f(x)也可以是0.9^x等，f(x)只要满足，其仅在0到1区间，是单调减函数既可，哪个f(x)最好，不知道），则f(x)概率换，1-f(x)概率不换
将信封内两数取个具体的值，例如3和4，此时，甲的期望收益是
（1-1/4)*(-1)+1/4*1+（1-1/5）*1+1/5*（-1）=1/10
同理，此时，乙期望收益也是1/10
那么，在这个双人赌局中，每个人的期望收益都是大于0，该双人赌局使双方都获利？

顶起

最近在看这本书，顺便来贴吧看看。。。

10.电车悖论
时隔一年的更新，应该不算挖坟吧...当初是因为贴吧有人闹事才断更了，之后因为忙就没跟了，再之后为什么没有更新呢...因为楼主很懒
“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，最早是由哲学家Philippa Foot提出的，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？电车悖论牵扯到伦理学上功利主义和义务论之争。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。
引自百度百科（以后从百度引的都不专门说明了。为啥不用维基？楼主英文差）

电车悖论为什么是一个悖论？因为通常大众的伦理观（也就是所谓的主流价值观）包含以下三条观点：
1.一个人不管处在任何情况下，都有符合道德的选择
这里的“符合道德”，指的是不违反道德的意思。换言之，一个人不管如何，总有办法能避免自己不道德。观点1几乎是显而易见的，我们不能批判一个无论如何都会违反道德的人。如果一个人在任何选择下都不道德，那肯定是道德本身错了，道德不能强人所难，要求根本做不到的事。
2.不能杀害无辜的人，也不能故意导致无辜的人死亡（即使这么做是有理由的）
这是义务论的观点，同时也符合大众的道德直觉。在我们看来，论点2也是显而易见的，只有当一个人不是无辜的（犯罪者或是参战的军人）的时候我们才有资格剥夺他的生命，否则伤害无辜的人就是不道德的，更别说害死他了。这里“故意”的意思是明知自己的行为会导致某种结果（这里是致人死亡）依然这么做了。
3.除非能力受限或者自身有危险，否则不能见死不救
观点3也合情合理，我们不会谴责不救火的平民（因为自身有危险），也不能指责不采取专业医疗手段救助受伤陌生人的普通人（因为没有能力），但在有能力且自身安全的情况下，救助是应该的，上述两种情况路人都有向他人呼救的道德义务，否则就是不道德的。救助会造成损失不是反对观点3的理由，很多救援都需要耗费大量的人力物力财力，但这从来都不是放弃施救的理由。同时很多救助本身就可能造成更多人伤亡（因为很多救援对救援者来说很危险）但仍然不能因此反对救援。
看起来观点123都没有问题，但电车悖论用一个特殊的情景告诉了我们，这三条是矛盾的。如果放任不管就违反了3，拉拉杠就违反了2，而假如23都是对的，那1就会引发矛盾，因为此时没有符合道德的选择。换言之，虽然直觉告诉我们123都是对的，但实际上必然至少有1条观点是错的。那么，到底哪一条错了？亦或，错的不止一条？

只有一种选择的时候，就等于没有选择，没有选择就没有行为，没有行为就没有责任——也就无所谓道德不道德。
在这个悖论中如果没有拉杆，你无法改变电车的方向，你对轧死五个人的结果根本就无能为力，无论你干什么事儿对这一结果都没有影响，这时候无论你干什么，都等于什么也不干——你唯一的选择就是什么也不干，你就等于没有选择、没有行为，因而这这一事件中你也谈不上什么道德不道德。 　　当你只有两种选择（或者100种选择，道理是一样的），你除此之外就没有选择。假如这两种选择都是不道德的，这就等于说无论你怎样选择都是不道德的，就等于说这种不道德竟然不是由于你的自由选择造成的，而是外界强加给你的。这显然是胡说八道。根据我们前面的论证：如果一种行为是不道德的，那必然是由于你自由选择造成的。当你无可选择的时候，那根本就无所谓道德不道德。

一、你只有两种选择、两种可能的行为：动拉杆或者不动拉杆，这必然造成两种不同的结果：一个人死亡或者五个人死亡。这两种行为不可能都是不道德的。
二、你拉动拉杆，造成一个人死亡的结果，你不应当为此承担道义上的责任，因为这个人的死亡，不是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡，要么一个、要么五个，至少要死一个人——这是必然的结果，这是你无法阻止的结果。
三、你不拉动拉杆，造成五个人死亡，你应当为此承担道德的谴责。死亡五个人，不是必然的结果，而是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡，要么一个、要么五个，死一个是必然的，死五个不是必然的，现在真的死了五个，那是你的行为造成的。

一、你只有两种选择、两种可能的行为：动拉杆或者不动拉杆，这必然造成两种不同的结果：一个人死亡或者五个人死亡。这两种行为不可能都是不道德的。
二、你拉动拉杆，造成一个人死亡的结果，你不应当为此承担道义上的责任，因为这个人的死亡，不是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡，要么一个、要么五个，至少要死一个人——这是必然的结果，这是你无法阻止的结果。
三、你不拉动拉杆，造成五个人死亡，你应当为此承担道德的谴责。死亡五个人，不是必然的结果，而是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡，要么一个、要么五个，死一个是必然的，死五个不是必然的，现在真的死了五个，那是你的行为造成的。