分析一下自然数中素数的发生率的 π(p-1)/p→0的极限存在的问题。
前言
有位学院派的网友对我说：数学书上的极限理论，是严密的系统理论。要谈极限问题，如果没有基本的常识，仅凭感觉，是会贻笑大方的。
原因是我质疑： 在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0.（见王元《谈谈素数》章节12. 素数的出现概率为零）
认为该素数发生率π[(p-1)/p]→0的极限是不存在的，纯属虚构。
在自然数中，素数发生率有
π(p-1)/p=(1/2)×π(p-1)/p; （式1）
3≤p≤√x
（式1）中因子(1/2)是自然数中奇数的发生率，因此奇数中的素数发生率，
有 π(p-1)/p ；（3≤p≤√x) （式2）
下面对（式2）进行纯数学上面的变形，来看看为什么说x→∞时π(p-1)/p→0的极限是不存在的。
1）把因子(p-1)/p 变成 (p-2)/p ，产生的抵消参数 k(p)=(p-1)/(p-2)，
即 π[(p-1)/p]=π[(p-2)/p] ×π[(p-1)/(p-2)] ；（p≥3)； （式3）
2）在 π[(p-2)/p] 中引入小于p的全部奇合数因子（h-2)/h，用系数F(p)抵消，以便于约分化简：
即 π(p-1)/p =2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×…×(p-1)/p
=1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×…×(p-2)/p×π[(p-1)/(p-2)]
=[1×3×5×7×9×11×13×…×（p-4)×(p-2)]/[3×5×7×9×11×13×15×…×(p-2)×p]×K(p)×F(p)
= 1/p ×K(p)×F(p) （ 式4）
（式4）中：K(p)=π(p-1)/(p-2);（p≥3)；
F(p)=π[h/(h-2)];h为小于p的全部奇合数。
来对比一下x→∞，p→∞过程中不同p时奇数中的素数发生率π[(p-1)/p]的倒数D(p)=π[p/(p-1)]、K(p)、 F(p)值大小（p≥3)：
x= 100 p= 7 ,D(p)≈ 2.1875 ; K(7)≈ 3.2 ； F( 7 ) =1
x= 1000 p= 31 ,D(p)≈ 3.271135; K(31)≈ 4.9234 ； F( 29 ) = 1.924837
x= 10^4 p= 97 ,D(p)≈ 4.155679; K(97)≈ 6.2834 ； F( 97 ) = 3.714813
x= 10^5 p= 997 ,D(p)≈ 6.175488; K(997)≈ 9.35330； F( 997 ) = 17.260693
x= 10^8 p= 9973 ,D(p)≈8.212245 ; K(9973)≈ 12.4396； F( 9973 ) = 97.624025
x= 10^10 p= 99991 ,D(p)≈10.255779; K(99991)≈ 15.5353； F( 99989 ) = 627.585468
x= 10^12 p= 999983 , D(p)≈12.303755; K(999983)≈ 18.6374； F( 999983 ) = 4360.860384
x= 10^14 p= 9999991,D(p)≈14.35132 ； K(9999991)≈ 24.8106；F( 9999991 ) = 32041.369978
很显然，在x→∞，p→∞时,有 D(p)＜K(p)＜F(p)＜p≤√x;的关系式。
而p、√x已经是比x低阶的无穷大了，而上述参数中其中的最小项也要在x→∞趋向无穷大？太匪夷所思了！
讨论一下
【假设】 x→∞时素数发生率 π[(p-1)/p]=(1/2)×π(p-1)/p→0 成立，（3≤p≤√x）
则 x→∞时其倒数 D(p)=π[p/(p-1)]→∞成立，
那么p→∞的过程中比D(p)大的K(p)→∞、F(p)→∞ 能够不成立吗？
于是由（ 式4） π[(p-1)/p ]= 1/p ×K(p)×F(p) 的倒数,有
p÷K(p)÷F(p)＝D(p) （式5）
于是一个荒谬的极限关系式诞生了：（式5）不就成了 ∞÷∞÷∞＝∞ 吗？（式6）
例：x= 10^10时，有 99991÷15.5353÷627.585468≈10.255773=D(p)
x= 10^12时，有 999983÷18.6374÷4360.860384≈12.3037=D(p)—— 此处计算中的因子小数位数与电脑浮点运行中的因子小数位数不一致，故值略有差别。
（式6）这个荒谬的极限关系式的诞生基础就是把x→∞时只是有限增大的π[p/(p-1)]——D(p)值，认定能够无限增大，由D(p)→∞所造成的荒谬的结论。
因此在x→∞，p→∞时,π[p/(p-1)]→∞的假设是不成立的，当然π[(p-1)/p]→0是不可能发生的。所谓的【严密的系统理论】纯属虚构。